Номер 154, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 154, страница 380.

154 $\lg x + \frac{4}{\lg x} = 2 \lg 100.$

Исходное уравнение: $lg x + \frac{4}{lg x} = 2 lg 100$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $x > 0$. Кроме того, в уравнении присутствует деление на $lg x$, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю: $lg x \neq 0$. Из этого условия следует, что $x \neq 10^0$, то есть $x \neq 1$. Итак, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Далее упростим правую часть уравнения. Десятичный логарифм $lg 100$ — это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 100. Так как $10^2 = 100$, то $lg 100 = 2$.Тогда правая часть уравнения равна $2 \cdot lg 100 = 2 \cdot 2 = 4$.Уравнение принимает вид:$lg x + \frac{4}{lg x} = 4$.

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $y = lg x$. Учитывая ОДЗ ($lg x \neq 0$), новая переменная $y$ не может быть равна нулю.Подставляем $y$ в уравнение и получаем:$y + \frac{4}{y} = 4$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $y$ (это допустимо, так как $y \neq 0$):$y \cdot y + \frac{4}{y} \cdot y = 4 \cdot y$$y^2 + 4 = 4y$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:$y^2 - 4y + 4 = 0$.Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае это $(y-2)^2$.Таким образом, уравнение можно записать как $(y - 2)^2 = 0$.Отсюда находим единственный корень: $y - 2 = 0$, что дает $y = 2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$. Мы установили, что $y = lg x$ и нашли, что $y = 2$.Следовательно, $lg x = 2$.По определению десятичного логарифма, если $lg x = 2$, то $x = 10^2$.$x = 100$.

В завершение проверим, соответствует ли найденный корень $x = 100$ области допустимых значений ($x > 0$ и $x \neq 1$).Корень $100$ удовлетворяет обоим условиям, так как $100 > 0$ и $100 \neq 1$.Следовательно, $x=100$ является решением данного уравнения.

Ответ: $100$