Номер 150, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 150, страница 380.

150 a) $2 \log_{\frac{1}{2}} \log_2 x + \log_2 \log_2 x = -1;$

б) $3 \log_{\frac{1}{3}} \log_3 x + \log_3 \log_3 x = -2.$

a) $2 \log_{\frac{1}{2}} \log_2 x + \log_2 \log_2 x = -1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В данном уравнении у нас есть "вложенные" логарифмы, поэтому мы имеем систему неравенств:

1. $x > 0$ (для внутреннего логарифма $\log_2 x$)

2. $\log_2 x > 0$ (для внешних логарифмов $\log_{\frac{1}{2}}(\cdot)$ и $\log_2(\cdot)$)

Решим второе неравенство: $\log_2 x > \log_2 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.

Теперь преобразуем первый член уравнения, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_{\frac{1}{2}} \log_2 x = \frac{\log_2 \log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2 \log_2 x}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2 \log_2 x}{-1} = -\log_2 \log_2 x$

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$2(-\log_2 \log_2 x) + \log_2 \log_2 x = -1$

$-2 \log_2 \log_2 x + \log_2 \log_2 x = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$-\log_2 \log_2 x = -1$

Умножим обе части на $-1$:

$\log_2 \log_2 x = 1$

Теперь решим это уравнение. По определению логарифма:

$\log_2 x = 2^1$

$\log_2 x = 2$

И еще раз по определению логарифма:

$x = 2^2$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x > 1$). Корень $x=4$ удовлетворяет условию $4 > 1$.

Ответ: $x = 4$.

б) $3 \log_{\frac{1}{3}} \log_3 x + \log_3 \log_3 x = -2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Как и в предыдущем пункте, аргументы логарифмов должны быть положительны:

1. $x > 0$ (для внутреннего логарифма $\log_3 x$)

2. $\log_3 x > 0$ (для внешних логарифмов $\log_{\frac{1}{3}}(\cdot)$ и $\log_3(\cdot)$)

Из второго неравенства $\log_3 x > \log_3 1$ следует, что $x > 1$ (так как основание $3 > 1$).

Итоговая ОДЗ: $x > 1$.

Преобразуем первый член уравнения, приведя логарифм к основанию 3:

$\log_{\frac{1}{3}} \log_3 x = \frac{\log_3 \log_3 x}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{\log_3 \log_3 x}{\log_3 3^{-1}} = \frac{\log_3 \log_3 x}{-1} = -\log_3 \log_3 x$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$3(-\log_3 \log_3 x) + \log_3 \log_3 x = -2$

$-3 \log_3 \log_3 x + \log_3 \log_3 x = -2$

Упростим левую часть:

$-2 \log_3 \log_3 x = -2$

Разделим обе части на $-2$:

$\log_3 \log_3 x = 1$

Решаем полученное логарифмическое уравнение. По определению логарифма:

$\log_3 x = 3^1$

$\log_3 x = 3$

И еще раз:

$x = 3^3$

$x = 27$

Проверяем корень по ОДЗ ($x > 1$). $27 > 1$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $x = 27$.