Номер 143, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 143, страница 379.

143 a) $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0;$

б) $4^x + 2^x - 2 = 0;$

в) $9^x + 2 \cdot 3^x - 3 = 0;$

г) $4^x - 2^x = 56.$

а) $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Данное показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 5$

$t_1 \cdot t_2 = 4$

Отсюда находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1) Если $t_1 = 1$, то $2^x = 1$. Так как $1 = 2^0$, получаем $2^x = 2^0$, откуда $x = 0$.

2) Если $t_2 = 4$, то $2^x = 4$. Так как $4 = 2^2$, получаем $2^x = 2^2$, откуда $x = 2$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=0, x=2$.

б) $4^x + 2^x - 2 = 0$

Это уравнение также сводится к квадратному. Представим $4^x$ как $(2^x)^2$.

$(2^x)^2 + 2^x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим его. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни: $t_1 = -2$, $t_2 = 1$.

Проверим условие $t > 0$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, так как $2^x$ не может быть отрицательным. Этот корень является посторонним.

Корень $t_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену:

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

в) $9^x + 2 \cdot 3^x - 3 = 0$

Аналогично предыдущим примерам, приведем уравнение к квадратному виду. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

$(3^x)^2 + 2 \cdot 3^x - 3 = 0$

Введем замену $t = 3^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -2$

$t_1 \cdot t_2 = -3$

Корни: $t_1 = -3$, $t_2 = 1$.

Проверим соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = -3$ не подходит, так как $3^x > 0$ для любого $x$.

Корень $t_2 = 1$ подходит.

Вернемся к переменной $x$:

$3^x = 1$

$3^x = 3^0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

г) $4^x - 2^x = 56$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$4^x - 2^x - 56 = 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 2^x - 56 = 0$

Сделаем замену переменной: $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - t - 56 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -56$

Подбором находим корни: $t_1 = -7$, $t_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$, так как $2^x$ всегда положительно. Этот корень посторонний.

Корень $t_2 = 8$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену:

$2^x = 8$

Представим $8$ как степень двойки: $8 = 2^3$.

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.