Страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

133 a) $10^x = 0.01$;

б) $10^x = 0.00001$;

в) $\left(\frac{1}{10}\right)^x = 100$;

г) $\left(\frac{1}{10}\right)^x = 1000$.

а)

Дано показательное уравнение $10^x = 0,01$.

Для решения необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае, это основание 10.

Представим десятичную дробь $0,01$ в виде степени числа 10. Мы знаем, что $0,01 = \frac{1}{100}$.

Так как $100 = 10^2$, то $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем, что $\frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$10^x = 10^{-2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -2$

Ответ: $-2$.

б)

Дано показательное уравнение $10^x = 0,00001$.

Приведем правую часть уравнения к основанию 10.

Представим десятичную дробь $0,00001$ как степень числа 10.

$0,00001 = \frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{10^5} = 10^{-5}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$10^x = 10^{-5}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = -5$

Ответ: $-5$.

в)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{10})^x = 100$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к основанию 10.

Преобразуем левую часть. Используя свойство $\frac{1}{a} = a^{-1}$, получаем:

$\frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Тогда левая часть уравнения станет $(\frac{1}{10})^x = (10^{-1})^x$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $10^{-x}$.

Преобразуем правую часть: $100 = 10^2$.

Теперь уравнение выглядит так:

$10^{-x} = 10^2$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

г)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{10})^x = 1000$.

Приведем обе части уравнения к основанию 10.

Левая часть: $(\frac{1}{10})^x = (10^{-1})^x = 10^{-x}$.

Правая часть: $1000 = 10^3$.

Подставляем полученные выражения в уравнение:

$10^{-x} = 10^3$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$-x = 3$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

134 а) $2^{x+1} + 2^x = 6;$

В) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56;$

Д) $3^{x+1} + 4 \cdot 3^{x-1} = 39;$

б) $3^{x+1} - 3^x = 6;$

Г) $3^{x+1} + 2 \cdot 3^{x-1} = 11;$

е) $3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-1} = 45.$

а) $2^{x+1} + 2^x = 6$

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать уравнение:

$2^x \cdot 2^1 + 2^x = 6$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(2+1) = 6$

$2^x \cdot 3 = 6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$2^x = \frac{6}{3}$

$2^x = 2$

Так как $2 = 2^1$, получаем:

$2^x = 2^1$

Следовательно, $x=1$.

Ответ: $x=1$

б) $3^{x+1} - 3^x = 6$

Преобразуем $3^{x+1}$ как $3^x \cdot 3^1$:

$3^x \cdot 3 - 3^x = 6$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(3-1) = 6$

$3^x \cdot 2 = 6$

Разделим обе части на 2:

$3^x = \frac{6}{2}$

$3^x = 3$

Так как $3 = 3^1$, то $x=1$.

Ответ: $x=1$

в) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56$

Используя свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{2^1} + \frac{2^x}{2^2} = 56$

$2^x + \frac{2^x}{2} + \frac{2^x}{4} = 56$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 56$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$2^x(\frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 56$

$2^x \cdot \frac{7}{4} = 56$

Выразим $2^x$:

$2^x = 56 \cdot \frac{4}{7}$

$2^x = 8 \cdot 4$

$2^x = 32$

Представим 32 как степень двойки: $32 = 2^5$.

$2^x = 2^5$

Следовательно, $x=5$.

Ответ: $x=5$

г) $3^{x+1} + 2 \cdot 3^{x-1} = 11$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней:

$3^x \cdot 3^1 + 2 \cdot \frac{3^x}{3^1} = 11$

$3 \cdot 3^x + \frac{2}{3} \cdot 3^x = 11$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(3 + \frac{2}{3}) = 11$

$3^x(\frac{9}{3} + \frac{2}{3}) = 11$

$3^x \cdot \frac{11}{3} = 11$

Выразим $3^x$:

$3^x = 11 \cdot \frac{3}{11}$

$3^x = 3$

Так как $3 = 3^1$, то $x=1$.

Ответ: $x=1$

д) $3^{x+1} + 4 \cdot 3^{x-1} = 39$

Преобразуем уравнение:

$3^x \cdot 3 + 4 \cdot \frac{3^x}{3} = 39$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(3 + \frac{4}{3}) = 39$

$3^x(\frac{9}{3} + \frac{4}{3}) = 39$

$3^x \cdot \frac{13}{3} = 39$

Выразим $3^x$:

$3^x = 39 \cdot \frac{3}{13}$

$3^x = 3 \cdot 3$

$3^x = 9$

Представим 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.

$3^x = 3^2$

Следовательно, $x=2$.

Ответ: $x=2$

е) $3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-1} = 45$

Преобразуем уравнение:

$3^x \cdot 3 - 4 \cdot \frac{3^x}{3} = 45$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(3 - \frac{4}{3}) = 45$

$3^x(\frac{9}{3} - \frac{4}{3}) = 45$

$3^x \cdot \frac{5}{3} = 45$

Выразим $3^x$:

$3^x = 45 \cdot \frac{3}{5}$

$3^x = 9 \cdot 3$

$3^x = 27$

Представим 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.

$3^x = 3^3$

Следовательно, $x=3$.

Ответ: $x=3$

135 а) $3^{x+1} + 3^x = 108;$

б) $2^{x+3} - 2^x = 112.$

а) $3^{x+1} + 3^x = 108$
Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем первое слагаемое в левой части уравнения:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$3 \cdot 3^x + 3^x = 108$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 + 1) = 108$
Выполним сложение в скобках:
$3^x \cdot 4 = 108$
Разделим обе части уравнения на 4:
$3^x = \frac{108}{4}$
$3^x = 27$
Чтобы найти $x$, представим число 27 как степень с основанием 3:
$27 = 3^3$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$3^x = 3^3$
Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$x = 3$
Ответ: $3$.

б) $2^{x+3} - 2^x = 112$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования первого слагаемого:
$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$8 \cdot 2^x - 2^x = 112$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(8 - 1) = 112$
Выполним вычитание в скобках:
$2^x \cdot 7 = 112$
Разделим обе части уравнения на 7:
$2^x = \frac{112}{7}$
$2^x = 16$
Теперь представим число 16 как степень с основанием 2:
$16 = 2^4$
Уравнение принимает вид:
$2^x = 2^4$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x = 4$
Ответ: $4$.

136 a) $33 \cdot 2^{x-1} - 2^{x+1} = 29;$

б) $33 \cdot 3^{x-2} + 3^{x+1} = 60.$

а) Решим уравнение $33 \cdot 2^{x-1} - 2^{x+1} = 29$.
Сначала преобразуем степени, используя свойства $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$
$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$33 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2^x\right) - 2 \cdot 2^x = 29$
$\frac{33}{2} \cdot 2^x - 2 \cdot 2^x = 29$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x \cdot \left(\frac{33}{2} - 2\right) = 29$
Вычислим значение в скобках:
$\frac{33}{2} - 2 = \frac{33}{2} - \frac{4}{2} = \frac{29}{2}$
Уравнение принимает вид:
$2^x \cdot \frac{29}{2} = 29$
Чтобы найти $2^x$, разделим обе части уравнения на $\frac{29}{2}$:
$2^x = 29 : \frac{29}{2} = 29 \cdot \frac{2}{29}$
$2^x = 2$
Так как $2 = 2^1$, получаем:
$x = 1$
Ответ: $1$.

б) Решим уравнение $33 \cdot 3^{x-2} + 3^{x+1} = 60$.
Преобразуем степени с переменной $x$:
$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^x$
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$33 \cdot \left(\frac{1}{9} \cdot 3^x\right) + 3 \cdot 3^x = 60$
$\frac{33}{9} \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 60$
Сократим дробь $\frac{33}{9}$ на 3:
$\frac{11}{3} \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 60$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x \cdot \left(\frac{11}{3} + 3\right) = 60$
Вычислим значение в скобках:
$\frac{11}{3} + 3 = \frac{11}{3} + \frac{9}{3} = \frac{20}{3}$
Уравнение принимает вид:
$3^x \cdot \frac{20}{3} = 60$
Найдем $3^x$, разделив обе части на $\frac{20}{3}$:
$3^x = 60 : \frac{20}{3} = 60 \cdot \frac{3}{20}$
$3^x = 3 \cdot 3 = 9$
Представим 9 как степень числа 3:
$3^x = 3^2$
Отсюда следует, что:
$x = 2$
Ответ: $2$.

137 a) $3^{x+2} + 3^{x+1} - 3^x = 99;$

б) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17.$

а) Решим показательное уравнение $3^{x+2} + 3^{x+1} - 3^x = 99$.

Для решения данного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем левую часть уравнения, представив все слагаемые через $3^x$:
$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$9 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x - 3^x = 99$
Теперь вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(9 + 3 - 1) = 99$
Выполним вычисления в скобках:
$3^x \cdot 11 = 99$
Разделим обе части уравнения на 11:
$3^x = \frac{99}{11}$
$3^x = 9$
Чтобы найти $x$, представим число 9 в виде степени с основанием 3:
$9 = 3^2$
Следовательно, уравнение принимает вид:
$3^x = 3^2$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 2$
Ответ: $2$.

б) Решим показательное уравнение $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17$.

Как и в предыдущем задании, используем свойства степеней ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$), чтобы выразить все члены уравнения через $3^x$:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$
$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$3 \cdot 3^x - 2 \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3^x) - 4 \cdot (\frac{1}{9} \cdot 3^x) = 17$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 - \frac{2}{3} - \frac{4}{9}) = 17$
Вычислим значение выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 9:
$3 - \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9} = \frac{27 - 6 - 4}{9} = \frac{17}{9}$
Теперь уравнение выглядит так:
$3^x \cdot \frac{17}{9} = 17$
Чтобы найти $3^x$, умножим обе части уравнения на $\frac{9}{17}$:
$3^x = 17 \cdot \frac{9}{17}$
$3^x = 9$
Представим 9 как степень с основанием 3:
$3^x = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$x = 2$
Ответ: $2$.

138 a) $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315;$

б) $81^{x-1} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} + \left(\frac{1}{3^x}\right)^{-2} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 0.$

а)

Дано показательное уравнение: $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315$.

Для решения приведем все слагаемые в левой части к общему основанию степени. В данном случае это уже сделано, основание равно 3. Вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем будет степень с наименьшим показателем, то есть $3^{2x-4}$.

Представим каждое слагаемое в виде произведения с множителем $3^{2x-4}$:

$3^{2x-1} = 3^{(2x-4)+3} = 3^{2x-4} \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^{2x-4}$

$3^{2x-2} = 3^{(2x-4)+2} = 3^{2x-4} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2x-4}$

$3^{2x-4} = 1 \cdot 3^{2x-4}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$27 \cdot 3^{2x-4} + 9 \cdot 3^{2x-4} - 1 \cdot 3^{2x-4} = 315$

Вынесем $3^{2x-4}$ за скобки:

$3^{2x-4}(27 + 9 - 1) = 315$

Выполним вычисления в скобках:

$3^{2x-4} \cdot 35 = 315$

Разделим обе части уравнения на 35:

$3^{2x-4} = \frac{315}{35}$

$3^{2x-4} = 9$

Представим 9 в виде степени с основанием 3:

$3^{2x-4} = 3^2$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x - 4 = 2$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

б)

Дано уравнение: $81^{x-1} \cdot (\frac{1}{3})^{-4} + (\frac{1}{3^x})^{-2} + 2 \cdot (-\frac{1}{9}) \cdot (\frac{1}{3})^{-3} = 0$.

Упростим каждый член уравнения, приведя все степени к основанию 3.

Упростим первый член: $81^{x-1} \cdot (\frac{1}{3})^{-4}$.

$81 = 3^4$, поэтому $81^{x-1} = (3^4)^{x-1} = 3^{4(x-1)} = 3^{4x-4}$.

$(\frac{1}{3})^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^{(-1) \cdot (-4)} = 3^4$.

Тогда первый член равен: $3^{4x-4} \cdot 3^4 = 3^{4x-4+4} = 3^{4x}$.

Упростим второй член: $(\frac{1}{3^x})^{-2}$.

$(\frac{1}{3^x})^{-2} = (3^{-x})^{-2} = 3^{(-x) \cdot (-2)} = 3^{2x}$.

Упростим третий член: $2 \cdot (-\frac{1}{9}) \cdot (\frac{1}{3})^{-3}$.

$-\frac{1}{9} = -3^{-2}$.

$(\frac{1}{3})^{-3} = (3^{-1})^{-3} = 3^3 = 27$.

Тогда третий член равен: $2 \cdot (-3^{-2}) \cdot 3^3 = -2 \cdot 3^{-2+3} = -2 \cdot 3^1 = -6$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в уравнение:

$3^{4x} + 3^{2x} - 6 = 0$

Заметим, что $3^{4x} = (3^{2x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{2x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к замене. Проверим корни на соответствие условию $y > 0$.

1. $y_1 = 2$. Этот корень удовлетворяет условию $y > 0$.

$3^{2x} = 2$

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

$\log_3(3^{2x}) = \log_3(2)$

$2x = \log_3(2)$

$x = \frac{1}{2}\log_3(2)$

Этот корень можно также записать как $x = \log_3(2^{1/2}) = \log_3(\sqrt{2})$.

2. $y_2 = -3$. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$, так как $3^{2x}$ не может быть отрицательным числом. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\log_3(2)$.

139 a) $4^{2x} - 7 \cdot 4^x + 16 = 0;$

В) $2^{2x+1} + 2^{x+2} - 16 = 0;$

б) $4 + 2^x = 2^{2x-1},$

Г) $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 = 0.$

а) $4^{2x} - 7 \cdot 4^x + 16 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $4^{2x} = (4^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 7t + 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное показательное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б) $4 + 2^x = 2^{2x-1}$

Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 2. Заметим, что $4 = 2^2$ и $2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1} = \frac{(2^x)^2}{2}$.

Уравнение примет вид:

$4 + 2^x = \frac{(2^x)^2}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$4 + t = \frac{t^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$8 + 2t = t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -8, а сумма равна 2. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет этому условию. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет, так как $2^x$ не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для $t=4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

в) $2^{2x+1} + 2^{x+2} - 16 = 0$

Используем свойства степеней для преобразования уравнения:

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2 \cdot (2^x)^2 + 4 \cdot 2^x - 16 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$2t^2 + 4t - 16 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -8, а сумма равна -2. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию. Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет.

Выполним обратную замену для $t=2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

г) $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$

Преобразуем член $2^{2x+1}$ используя свойства степеней:

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

Подставим это выражение в уравнение:

$2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$2t^2 - 9t + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

Найдем корни по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят под условие $t > 0$. Выполним обратную замену для каждого корня.

1) Для $t_1 = 4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_1 = 2$

2) Для $t_2 = \frac{1}{2}$:

$2^x = \frac{1}{2}$

$2^x = 2^{-1}$

$x_2 = -1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1$.

140 а) $2 \cdot 4^{2x} + 8 = 17 \cdot 4^x;$

в) $9^x - 8 \cdot 3^{x+1} - 81 = 0;$

д) $2 \cdot 16^x + 7 \cdot 4^x - 4 = 0;$

б) $2 \cdot 9^{2x} - 27 = 15 \cdot 9^x;$

г) $9^{x+1} + 3^{x+2} - 18 = 0;$

е) $2 \cdot 16^x - 7 \cdot 4^x - 4 = 0.$

а) Дано уравнение: $2 \cdot 4^{2x} + 8 = 17 \cdot 4^x$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид:
$2 \cdot 4^{2x} - 17 \cdot 4^x + 8 = 0$.
Заметим, что $4^{2x} = (4^x)^2$. Это позволяет нам сделать замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному.
Пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция $y=4^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Подставив $t$ в уравнение, получаем:
$2t^2 - 17t + 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 289 - 64 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$t_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 15}{4} = \frac{32}{4} = 8$.
$t_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Оба значения $t$ (8 и 1/2) положительны, поэтому они оба являются допустимыми решениями для $t$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1) $4^x = t_1 \Rightarrow 4^x = 8$.
Приведем обе части к основанию 2: $(2^2)^x = 2^3 \Rightarrow 2^{2x} = 2^3$.
Отсюда $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$.
2) $4^x = t_2 \Rightarrow 4^x = \frac{1}{2}$.
Приведем обе части к основанию 2: $(2^2)^x = 2^{-1} \Rightarrow 2^{2x} = 2^{-1}$.
Отсюда $2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0.5$.
Ответ: $x_1 = 1.5, x_2 = -0.5$.

б) Дано уравнение: $2 \cdot 9^{2x} - 27 = 15 \cdot 9^x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$2 \cdot 9^{2x} - 15 \cdot 9^x - 27 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 9^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$2t^2 - 15t - 27 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{15 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 21}{4} = \frac{36}{4} = 9$.
$t_2 = \frac{15 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 21}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Проверим условие $t > 0$. Корень $t_1 = 9$ подходит. Корень $t_2 = -3/2$ не подходит, так как $9^x$ не может быть отрицательным.
Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:
$9^x = 9 \Rightarrow 9^x = 9^1$.
Отсюда $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

в) Дано уравнение: $9^x - 8 \cdot 3^{x+1} - 81 = 0$.
Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(3^x)^2 - 8 \cdot (3 \cdot 3^x) - 81 = 0$
$(3^x)^2 - 24 \cdot 3^x - 81 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Уравнение превращается в квадратное:
$t^2 - 24t - 81 = 0$.
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 576 + 324 = 900$.
$t_1 = \frac{24 + \sqrt{900}}{2} = \frac{24 + 30}{2} = \frac{54}{2} = 27$.
$t_2 = \frac{24 - \sqrt{900}}{2} = \frac{24 - 30}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому отбрасываем его.
Остается $t_1 = 27$. Выполним обратную замену:
$3^x = 27$.
Так как $27 = 3^3$, то $3^x = 3^3$.
Следовательно, $x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

г) Дано уравнение: $9^{x+1} + 3^{x+2} - 18 = 0$.
Приведем все степени к основанию 3:
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = 9 \cdot (3^x)^2$.
$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$.
Подставим в уравнение:
$9 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$.
Разделим все уравнение на 9 для упрощения:
$(3^x)^2 + 3^x - 2 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$).
$t^2 + t - 2 = 0$.
Это простое квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ и $t_1 \cdot t_2 = -2$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не подходит, так как $t$ должно быть положительным.
Остается $t_1 = 1$. Выполним обратную замену:
$3^x = 1$.
Так как любое число в степени 0 равно 1, то $3^x = 3^0$.
Следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

д) Дано уравнение: $2 \cdot 16^x + 7 \cdot 4^x - 4 = 0$.
Приведем степени к одному основанию. Заметим, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$.
Уравнение принимает вид:
$2 \cdot (4^x)^2 + 7 \cdot 4^x - 4 = 0$.
Произведем замену переменной. Пусть $t = 4^x$ ($t > 0$).
Получаем квадратное уравнение:
$2t^2 + 7t - 4 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.
Корень $t_2 = -4$ является посторонним, так как $t > 0$.
Рассмотрим корень $t_1 = 1/2$. Выполним обратную замену:
$4^x = \frac{1}{2}$.
Представим обе части с основанием 2:
$(2^2)^x = 2^{-1} \Rightarrow 2^{2x} = 2^{-1}$.
Приравниваем показатели степени:
$2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = -0.5$.

е) Дано уравнение: $2 \cdot 16^x - 7 \cdot 4^x - 4 = 0$.
Аналогично предыдущему пункту, приведем степени к основанию 4: $16^x = (4^x)^2$.
$2 \cdot (4^x)^2 - 7 \cdot 4^x - 4 = 0$.
Пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.
Получим квадратное уравнение:
$2t^2 - 7t - 4 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Корень $t_2 = -1/2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается корень $t_1 = 4$. Выполним обратную замену:
$4^x = 4 \Rightarrow 4^x = 4^1$.
Отсюда $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

141 a) $4^x + \frac{6}{4^{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}} = 4;$

б) $\frac{1}{2} + 16^x = \frac{6}{16^{\frac{1}{2} + x}}.$

а) $4^x + \frac{6}{4^{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}} = 4$

Сначала преобразуем знаменатель второго слагаемого, используя свойства степеней: $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{mn} = (a^m)^n$.

$4^{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{-\frac{x}{2}} = \sqrt{4} \cdot (2^2)^{-\frac{x}{2}} = 2 \cdot 2^{-x} = \frac{2}{2^x}$.

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$4^x + \frac{6}{\frac{2}{2^x}} = 4$

Упростим второе слагаемое:

$4^x + \frac{6 \cdot 2^x}{2} = 4$

$4^x + 3 \cdot 2^x = 4$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет нам свести уравнение к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, $y > 0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 + 3y = 4$

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -3$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -4$. Корни легко подбираются:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Для $y_1 = 1$:

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

2. Для $y_2 = -4$:

$2^x = -4$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Проверка: подставим $x=0$ в исходное уравнение.

$4^0 + \frac{6}{4^{\frac{1}{2} - \frac{0}{2}}} = 1 + \frac{6}{4^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{6}{2} = 1 + 3 = 4$.

$4 = 4$. Равенство верное.

Ответ: $x=0$.

б) $\frac{1}{2} + 16^x = \frac{6}{16^{\frac{1}{2} + x}}$

Преобразуем знаменатель в правой части уравнения, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$16^{\frac{1}{2} + x} = 16^{\frac{1}{2}} \cdot 16^x = \sqrt{16} \cdot 16^x = 4 \cdot 16^x$.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$\frac{1}{2} + 16^x = \frac{6}{4 \cdot 16^x}$

$\frac{1}{2} + 16^x = \frac{3}{2 \cdot 16^x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 16^x$. Так как $16^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.

Уравнение с новой переменной:

$\frac{1}{2} + y = \frac{3}{2y}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $2y$ (это возможно, так как $y > 0$, следовательно $y \neq 0$):

$2y \cdot (\frac{1}{2} + y) = 2y \cdot \frac{3}{2y}$

$y + 2y^2 = 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2y^2 + y - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь вернемся к переменной $x$.

1. Для $y_1 = 1$:

$16^x = 1$

$16^x = 16^0$

$x = 0$

2. Для $y_2 = -\frac{3}{2}$:

$16^x = -\frac{3}{2}$

Уравнение не имеет действительных корней, так как $16^x$ всегда больше нуля. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Проверка: подставим $x=0$ в исходное уравнение.

Левая часть: $\frac{1}{2} + 16^0 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

Правая часть: $\frac{6}{16^{\frac{1}{2} + 0}} = \frac{6}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$. Равенство верное.

Ответ: $x=0$.

142 a) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$;

б) $3^{2x} + 8 \cdot 3^x - 9 = 0$.

а) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Данное показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Перепишем уравнение в виде:

$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 4$

Оба корня положительные, поэтому оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1. Для $t_1 = 2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x_1 = 1$

2. Для $t_2 = 4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_2 = 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=1, x=2$.

б) $3^{2x} + 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Это уравнение также является показательным и сводится к квадратному. Представим $3^{2x}$ как $(3^x)^2$:

$(3^x)^2 + 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = 3^x$, при этом должно выполняться условие $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 + 8y - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1, b=8, c=-9$.

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь проверим корни на соответствие условию $y > 0$.

Корень $y_1 = -9$ не удовлетворяет условию $y > 0$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $y_2 = 1$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для $y_2 = 1$:

$3^x = 1$

Представим 1 как степень с основанием 3:

$3^x = 3^0$

Отсюда получаем, что $x = 0$.

Ответ: $x=0$.

143 a) $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0;$

б) $4^x + 2^x - 2 = 0;$

в) $9^x + 2 \cdot 3^x - 3 = 0;$

г) $4^x - 2^x = 56.$

а) $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Данное показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 5$

$t_1 \cdot t_2 = 4$

Отсюда находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1) Если $t_1 = 1$, то $2^x = 1$. Так как $1 = 2^0$, получаем $2^x = 2^0$, откуда $x = 0$.

2) Если $t_2 = 4$, то $2^x = 4$. Так как $4 = 2^2$, получаем $2^x = 2^2$, откуда $x = 2$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=0, x=2$.

б) $4^x + 2^x - 2 = 0$

Это уравнение также сводится к квадратному. Представим $4^x$ как $(2^x)^2$.

$(2^x)^2 + 2^x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим его. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни: $t_1 = -2$, $t_2 = 1$.

Проверим условие $t > 0$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, так как $2^x$ не может быть отрицательным. Этот корень является посторонним.

Корень $t_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену:

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

в) $9^x + 2 \cdot 3^x - 3 = 0$

Аналогично предыдущим примерам, приведем уравнение к квадратному виду. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

$(3^x)^2 + 2 \cdot 3^x - 3 = 0$

Введем замену $t = 3^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -2$

$t_1 \cdot t_2 = -3$

Корни: $t_1 = -3$, $t_2 = 1$.

Проверим соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = -3$ не подходит, так как $3^x > 0$ для любого $x$.

Корень $t_2 = 1$ подходит.

Вернемся к переменной $x$:

$3^x = 1$

$3^x = 3^0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

г) $4^x - 2^x = 56$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$4^x - 2^x - 56 = 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 2^x - 56 = 0$

Сделаем замену переменной: $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - t - 56 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -56$

Подбором находим корни: $t_1 = -7$, $t_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$, так как $2^x$ всегда положительно. Этот корень посторонний.

Корень $t_2 = 8$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену:

$2^x = 8$

Представим $8$ как степень двойки: $8 = 2^3$.

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

144 a) $9^{x+1} + 3^{x+2} - 18 = 0;$

б) $5^{2x} = 115 \cdot 5^{x-1} + 50;$

В) $5^{x-1} + 5 \cdot (0,2)^{x-2} = 26;$

Г) $3^y - \frac{77}{3^y} = 76.$

а) Исходное уравнение: $9^{x+1} + 3^{x+2} - 18 = 0$.
Представим $9$ как $3^2$ и преобразуем уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(3^2)^{x+1} + 3^x \cdot 3^2 - 18 = 0$
$3^{2(x+1)} + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$
$3^{2x+2} + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$
$3^{2x} \cdot 3^2 + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$
$9 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$9t^2 + 9t - 18 = 0$
Разделим обе части уравнения на 9:
$t^2 + t - 2 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -2$ и $t_1 + t_2 = -1$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Проверяем условие $t > 0$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как он отрицательный.
Остается один корень $t_1 = 1$.
Выполним обратную замену:
$3^x = 1$
$3^x = 3^0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

б) Исходное уравнение: $5^{2x} = 115 \cdot 5^{x-1} + 50$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и преобразуем уравнение:
$5^{2x} - 115 \cdot 5^{x-1} - 50 = 0$
$(5^x)^2 - 115 \cdot \frac{5^x}{5^1} - 50 = 0$
$(5^x)^2 - 23 \cdot 5^x - 50 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 23t - 50 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 27}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 27}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается корень $t_1 = 25$.
Выполним обратную замену:
$5^x = 25$
$5^x = 5^2$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

в) Исходное уравнение: $5^{x-1} + 5 \cdot (0,2)^{x-2} = 26$.
Представим $0,2$ в виде степени с основанием 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Подставим это в уравнение:
$5^{x-1} + 5 \cdot (5^{-1})^{x-2} = 26$
Применим свойства степеней:
$5^{x-1} + 5^1 \cdot 5^{-x+2} = 26$
$5^{x-1} + 5^{1-x+2} = 26$
$5^{x-1} + 5^{3-x} = 26$
$\frac{5^x}{5} + \frac{5^3}{5^x} = 26$
$\frac{5^x}{5} + \frac{125}{5^x} = 26$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$\frac{t}{5} + \frac{125}{t} = 26$
Умножим обе части на $5t$, чтобы избавиться от знаменателей:
$t^2 + 625 = 130t$
$t^2 - 130t + 625 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-130)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 16900 - 2500 = 14400 = 120^2$
$t_1 = \frac{130 + 120}{2} = \frac{250}{2} = 125$
$t_2 = \frac{130 - 120}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $5^x = 125 \Rightarrow 5^x = 5^3 \Rightarrow x_1 = 3$.
2) $5^x = 5 \Rightarrow 5^x = 5^1 \Rightarrow x_2 = 1$.
Ответ: $x=1, x=3$.

г) Исходное уравнение: $3^y - \frac{77}{3^y} = 76$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^y$, где $t > 0$.
Получаем уравнение:
$t - \frac{77}{t} = 76$
Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$t^2 - 77 = 76t$
$t^2 - 76t - 77 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -77$ и $t_1 + t_2 = 76$. Корни: $t_1 = 77$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается корень $t_1 = 77$.
Выполним обратную замену:
$3^y = 77$
Для нахождения $y$ прологарифмируем обе части по основанию 3:
$\log_3(3^y) = \log_3(77)$
$y \cdot \log_3(3) = \log_3(77)$
$y = \log_3 77$
Ответ: $y = \log_3 77$.

145 $25^x - 24 \cdot 5^{x-1} - 5^{\log_5 3} + 2 = 0$

Дано уравнение:

$25^x - 24 \cdot 5^{x-1} - 5^{\log_5 3} + 2 = 0$

Для решения данного уравнения, сначала упростим его компоненты, используя свойства степеней и логарифмов.

1. Преобразуем член $25^x$. Так как $25 = 5^2$, то $25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = (5^x)^2$.

2. Преобразуем член $5^{x-1}$. По свойству степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем $5^{x-1} = \frac{5^x}{5^1} = \frac{5^x}{5}$.

3. Упростим член $5^{\log_5 3}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем $5^{\log_5 3} = 3$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$(5^x)^2 - 24 \cdot \left(\frac{5^x}{5}\right) - 3 + 2 = 0$

$(5^x)^2 - \frac{24}{5} \cdot 5^x - 1 = 0$

Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение приобретает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - \frac{24}{5}t - 1 = 0$

Домножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$5t^2 - 24t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

Теперь вернемся к нашей замене $t = 5^x$ и проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Корень $t_2 = -\frac{1}{5}$ не удовлетворяет условию $t > 0$, следовательно, является посторонним.

Таким образом, у нас есть одно решение для $t$:

$t=5$

Выполним обратную замену:

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

Отсюда следует, что $x=1$.

Ответ: $1$.

146 a) $7^{x-2} + 38 \cdot 3^x = 7^{x+1};$

б) $5^{x-1} + 5^{x+2} = 70 \cdot 3^x;$

в) $2^{x+1} - 2^{x-1} = 3^{2-x};$

г) $3^{x-1} - 3^{x+1} + 2^{4-x} = 0.$

а) $7^{x-2} + 38 \cdot 3^x = 7^{x+1}$

Перенесем слагаемые, содержащие основание 7, в одну часть уравнения:

$38 \cdot 3^x = 7^{x+1} - 7^{x-2}$

Вынесем за скобки общий множитель $7^{x-2}$ в правой части:

$38 \cdot 3^x = 7^{x-2}(7^{x+1-(x-2)} - 1)$

$38 \cdot 3^x = 7^{x-2}(7^3 - 1)$

$38 \cdot 3^x = 7^{x-2}(343 - 1)$

$38 \cdot 3^x = 342 \cdot 7^{x-2}$

Разделим обе части уравнения на 38:

$3^x = \frac{342}{38} \cdot 7^{x-2}$

$3^x = 9 \cdot 7^{x-2}$

Используем свойства степеней, чтобы сгруппировать слагаемые с переменной $x$:

$3^x = 3^2 \cdot \frac{7^x}{7^2}$

$3^x = \frac{9}{49} \cdot 7^x$

Разделим обе части на $7^x$ (это возможно, так как $7^x > 0$ при любом $x$):

$\frac{3^x}{7^x} = \frac{9}{49}$

$(\frac{3}{7})^x = (\frac{3}{7})^2$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$

б) $5^{x-1} + 5^{x+2} = 70 \cdot 3^x$

Вынесем за скобки общий множитель $5^{x-1}$ в левой части уравнения:

$5^{x-1}(1 + 5^{x+2-(x-1)}) = 70 \cdot 3^x$

$5^{x-1}(1 + 5^3) = 70 \cdot 3^x$

$5^{x-1}(1 + 125) = 70 \cdot 3^x$

$126 \cdot 5^{x-1} = 70 \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на общий делитель 14:

$9 \cdot 5^{x-1} = 5 \cdot 3^x$

Используем свойства степеней:

$9 \cdot \frac{5^x}{5^1} = 5 \cdot 3^x$

$\frac{9}{5} \cdot 5^x = 5 \cdot 3^x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а константы в другой. Для этого разделим обе части на $3^x$ и умножим на 5:

$9 \cdot 5^x = 25 \cdot 3^x$

$\frac{5^x}{3^x} = \frac{25}{9}$

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^2$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$

в) $2^{x+1} - 2^{x-1} = 3^{2-x}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{x-1}$ в левой части уравнения:

$2^{x-1}(2^{x+1-(x-1)} - 1) = 3^{2-x}$

$2^{x-1}(2^2 - 1) = 3^{2-x}$

$2^{x-1}(4 - 1) = 3^{2-x}$

$3 \cdot 2^{x-1} = 3^{2-x}$

Используем свойства степеней:

$3 \cdot \frac{2^x}{2} = \frac{3^2}{3^x}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а константы в другой. Для этого умножим обе части на $3^x$ и на 2:

$3 \cdot 2^x \cdot 3^x = 2 \cdot 3^2$

$3 \cdot (2 \cdot 3)^x = 18$

$3 \cdot 6^x = 18$

Разделим обе части на 3:

$6^x = 6$

$6^x = 6^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$

г) $3^{x-1} - 3^{x+1} + 2^{4-x} = 0$

Перенесем слагаемое с основанием 2 в правую часть уравнения:

$3^{x-1} - 3^{x+1} = -2^{4-x}$

Вынесем за скобки общий множитель $3^{x-1}$ в левой части:

$3^{x-1}(1 - 3^{x+1-(x-1)}) = -2^{4-x}$

$3^{x-1}(1 - 3^2) = -2^{4-x}$

$3^{x-1}(1 - 9) = -2^{4-x}$

$-8 \cdot 3^{x-1} = -2^{4-x}$

Умножим обе части уравнения на -1 и представим 8 как $2^3$:

$2^3 \cdot 3^{x-1} = 2^{4-x}$

Используем свойства степеней:

$2^3 \cdot \frac{3^x}{3} = \frac{2^4}{2^x}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а константы в другой. Для этого умножим обе части на $2^x$ и на 3:

$2^3 \cdot 3^x \cdot 2^x = 3 \cdot 2^4$

$8 \cdot (3 \cdot 2)^x = 3 \cdot 16$

$8 \cdot 6^x = 48$

Разделим обе части на 8:

$6^x = 6$

$6^x = 6^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$

Логарифмические уравнения

Решите уравнение (147—154):

147 a) $\log_5 \log_3 x = 1$; б) $\log_5 \log_2 x = 1$.

а)

Дано логарифмическое уравнение $log_5(log_3(x)) = 1$.

Для решения этого уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма всегда должен быть строго положительным. В данном случае у нас есть два логарифма, поэтому получаем систему из двух условий:

1. Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.
2. Аргумент внешнего логарифма: $log_3(x) > 0$.

Решим второе неравенство $log_3(x) > 0$. Мы знаем, что $0$ можно представить как $log_3(1)$. Тогда неравенство принимает вид: $log_3(x) > log_3(1)$.

Поскольку основание логарифма $3$ больше $1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

Объединяя условия $x > 0$ и $x > 1$, получаем итоговую ОДЗ: $x > 1$.

Теперь перейдем к решению самого уравнения $log_5(log_3(x)) = 1$.

Воспользуемся определением логарифма: если $log_a(b) = c$, то $b = a^c$. В нашем случае $a=5$, $b=log_3(x)$, $c=1$.

Получаем: $log_3(x) = 5^1$, что равносильно $log_3(x) = 5$.

Снова применяем определение логарифма для уравнения $log_3(x) = 5$. Здесь $a=3$, $b=x$, $c=5$.

Получаем: $x = 3^5$.

Вычисляем значение: $x = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Проверяем, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($x > 1$). Так как $243 > 1$, корень является решением уравнения.

Ответ: $243$.

б)

Дано логарифмическое уравнение $log_5(log_2(x)) = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Как и в предыдущем пункте, аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. $x > 0$.
2. $log_2(x) > 0$.

Решим второе неравенство $log_2(x) > 0$. Представим $0$ как $log_2(1)$, получим $log_2(x) > log_2(1)$.

Основание логарифма $2$ больше $1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

Итоговая ОДЗ, с учетом обоих условий, такова: $x > 1$.

Теперь решим уравнение $log_5(log_2(x)) = 1$.

По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff b = a^c$):

$log_2(x) = 5^1$

$log_2(x) = 5$

Применяем определение логарифма еще раз:

$x = 2^5$

Вычисляем значение: $x = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Проверяем корень на соответствие ОДЗ ($x > 1$). Так как $32 > 1$, найденный корень является решением.

Ответ: $32$.

148 a) $log_{2} log_{4} x = 1;$

б) $log_{2} log_{5} x = 1.$

а)

Дано логарифмическое уравнение: $\log_2 \log_4 x = 1$.

Для решения этого уравнения необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма всегда должен быть строго положительным. В данном случае у нас есть два логарифма, поэтому будет два условия:

1. Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.

2. Аргумент внешнего логарифма: $\log_4 x > 0$.

Решим второе неравенство. Используем свойство логарифмов: $\log_a b > c \Leftrightarrow b > a^c$ при $a > 1$. Так как основание $4 > 1$, получаем:

$x > 4^0$

$x > 1$

Объединяя оба условия ($x > 0$ и $x > 1$), получаем итоговую ОДЗ: $x > 1$.

Теперь перейдем к решению самого уравнения. Будем "раскрывать" логарифмы, начиная с внешнего, используя определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$.

Для уравнения $\log_2 (\log_4 x) = 1$ имеем:

$\log_4 x = 2^1$

$\log_4 x = 2$

Теперь решаем полученное уравнение $\log_4 x = 2$, снова применяя определение логарифма:

$x = 4^2$

$x = 16$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $16 > 1$, корень является решением уравнения.

Ответ: $16$.

б)

Дано логарифмическое уравнение: $\log_2 \log_5 x = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Как и в предыдущем примере, аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. Для внутреннего логарифма: $x > 0$.

2. Для внешнего логарифма: $\log_5 x > 0$.

Решим второе неравенство. Так как основание $5 > 1$, неравенство равносильно:

$x > 5^0$

$x > 1$

Общая ОДЗ для уравнения: $x > 1$.

Теперь решим уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов по определению $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$.

Для уравнения $\log_2 (\log_5 x) = 1$ получаем:

$\log_5 x = 2^1$

$\log_5 x = 2$

Решаем простое логарифмическое уравнение $\log_5 x = 2$:

$x = 5^2$

$x = 25$

Проверим найденный корень на соответствие ОДЗ. Условие $x > 1$ выполняется, так как $25 > 1$. Следовательно, корень найден верно.

Ответ: $25$.