Страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

107 Первый и последний члены арифметической прогрессии, имеющей 7 членов, равны 11 и 35 соответственно. Сколько членов в другой конечной арифметической прогрессии, первый и последний члены которой равны 38 и 13 соответственно, если четвёртые члены этих прогрессий равны?

Пусть первая арифметическая прогрессия обозначается как $(a_n)$, а вторая — как $(b_k)$.

1. Анализ первой арифметической прогрессии $(a_n)$.
По условию, в этой прогрессии 7 членов, то есть $n=7$.
Первый член $a_1 = 11$.
Последний (седьмой) член $a_7 = 35$.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, чтобы найти её разность $d_1$.
$a_7 = a_1 + (7-1)d_1$
$35 = 11 + 6d_1$
$6d_1 = 35 - 11$
$6d_1 = 24$
$d_1 = \frac{24}{6} = 4$
Теперь мы можем найти четвертый член первой прогрессии $a_4$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d_1$
$a_4 = 11 + 3 \cdot 4 = 11 + 12 = 23$

2. Анализ второй арифметической прогрессии $(b_k)$.
По условию, первый член этой прогрессии $b_1 = 38$.
Последний член $b_k = 13$.
Известно, что четвертые члены обеих прогрессий равны, следовательно, $b_4 = a_4 = 23$.
Найдем разность второй прогрессии $d_2$, используя известные значения $b_1$ и $b_4$:
$b_4 = b_1 + (4-1)d_2$
$23 = 38 + 3d_2$
$3d_2 = 23 - 38$
$3d_2 = -15$
$d_2 = \frac{-15}{3} = -5$
Теперь, зная первый член $b_1$, последний член $b_k$ и разность $d_2$, мы можем найти общее количество членов $k$ во второй прогрессии:
$b_k = b_1 + (k-1)d_2$
$13 = 38 + (k-1)(-5)$
$13 - 38 = -5(k-1)$
$-25 = -5(k-1)$
$k-1 = \frac{-25}{-5}$
$k-1 = 5$
$k = 5 + 1 = 6$
Таким образом, вторая арифметическая прогрессия состоит из 6 членов.

Ответ: 6

108 a) Найдите сумму первых ста натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.

б) Найдите сумму всех натуральных чисел, меньших 100, которые не кратны 5.

а)

Натуральные числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, образуют арифметическую прогрессию. Первым членом этой прогрессии является $a_1 = 1$. Каждое следующее число на 5 больше предыдущего, поэтому разность прогрессии $d = 5$. Нам необходимо найти сумму первых ста таких чисел, то есть $n=100$.

Последовательность чисел: 1, 6, 11, 16, ...

Сначала найдем 100-й член прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{100} = 1 + (100 - 1) \cdot 5 = 1 + 99 \cdot 5 = 1 + 495 = 496$.

Теперь вычислим сумму первых 100 членов по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{100} = \frac{1 + 496}{2} \cdot 100 = \frac{497}{2} \cdot 100 = 497 \cdot 50 = 24850$.

Ответ: 24850.

б)

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, меньших 100, которые не кратны 5, мы найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99 и вычтем из нее сумму тех чисел из этого же диапазона, которые кратны 5.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99. Эта последовательность является арифметической прогрессией, в которой $a_1 = 1$, $a_{99} = 99$ и количество членов $n = 99$.
Сумма $S_{всего} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 99}{2} \cdot 99 = 50 \cdot 99 = 4950$.

2. Найдем сумму натуральных чисел, меньших 100, которые кратны 5. Это последовательность: 5, 10, 15, ..., 95. Она также является арифметической прогрессией.
Первый член $b_1 = 5$, последний член $b_m = 95$, разность $d=5$.
Найдем количество членов $m$ по формуле n-го члена $b_m = b_1 + (m-1)d$:
$95 = 5 + (m-1) \cdot 5 \Rightarrow 90 = 5(m-1) \Rightarrow m-1 = 18 \Rightarrow m=19$.
Теперь найдем сумму этой прогрессии $S_{кратные 5}$:
$S_{кратные 5} = \frac{b_1 + b_m}{2} \cdot m = \frac{5 + 95}{2} \cdot 19 = \frac{100}{2} \cdot 19 = 50 \cdot 19 = 950$.

3. Вычтем из общей суммы сумму чисел, кратных 5, чтобы получить искомый результат:
$S = S_{всего} - S_{кратные 5} = 4950 - 950 = 4000$.

Ответ: 4000.

109 Сумма второго и двадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 10, а произведение этих 47 членов равно $23\frac{47}{64}$. Найдите сумму первых 16 членов этой прогрессии.

Пусть дана возрастающая арифметическая прогрессия $a_n$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Условие, что прогрессия возрастающая, означает, что $d > 0$.

По условию задачи, сумма второго и двадцатого членов равна 10:
$a_2 + a_{20} = 10$

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:
$(a_1 + (2-1)d) + (a_1 + (20-1)d) = 10$
$(a_1 + d) + (a_1 + 19d) = 10$
$2a_1 + 20d = 10$
$a_1 + 10d = 5$

Отметим, что $a_1 + 10d$ является одиннадцатым членом прогрессии, $a_{11}$. Таким образом, $a_{11} = 5$.

Далее в условии сказано, что "произведение этих 47 членов равно $23\frac{47}{64}$". Формулировка "этих 47 членов" является неоднозначной. В контексте подобных задач, наиболее вероятным является то, что это опечатка, и имелось в виду произведение упомянутых ранее членов, то есть второго и двадцатого. Примем это допущение.

Произведение второго и двадцатого членов равно $23\frac{47}{64}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$23\frac{47}{64} = \frac{23 \cdot 64 + 47}{64} = \frac{1472 + 47}{64} = \frac{1519}{64}$

Таким образом, мы имеем систему уравнений для $a_2$ и $a_{20}$:
$\begin{cases} a_2 + a_{20} = 10 \\ a_2 \cdot a_{20} = \frac{1519}{64} \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $a_2$ и $a_{20}$ являются корнями квадратного уравнения:
$t^2 - 10t + \frac{1519}{64} = 0$

Умножим уравнение на 64, чтобы избавиться от дроби:
$64t^2 - 640t + 1519 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = (-640)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 1519 = 409600 - 256 \cdot 1519 = 409600 - 388864 = 20736$
$\sqrt{D} = \sqrt{20736} = 144$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{640 - 144}{2 \cdot 64} = \frac{496}{128} = \frac{31}{8}$
$t_2 = \frac{640 + 144}{2 \cdot 64} = \frac{784}{128} = \frac{49}{8}$

Поскольку прогрессия возрастающая, то $a_2 < a_{20}$. Следовательно:
$a_2 = \frac{31}{8}$ и $a_{20} = \frac{49}{8}$

Теперь найдем разность прогрессии $d$:
$a_{20} - a_2 = 18d$
$18d = \frac{49}{8} - \frac{31}{8} = \frac{18}{8}$
$d = \frac{1}{8}$
Так как $d > 0$, условие о возрастающей прогрессии выполняется.

Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = a_2 - d = \frac{31}{8} - \frac{1}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

Наконец, найдем сумму первых 16 членов прогрессии ($S_{16}$), используя формулу $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$:
$S_{16} = \frac{16}{2} \left( 2 \cdot \frac{15}{4} + (16-1) \cdot \frac{1}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{15}{2} + \frac{15}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{60}{8} + \frac{15}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{75}{8} \right)$
$S_{16} = 75$

Ответ: 75

110 a) Найдите двадцатый член возрастающей арифметической прогрессии ${a_n}$, если $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 34$, а $a_2 \cdot a_5 = 52$.

б) Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что сумма первого и пятого её членов равна 4, а разность квадратов второго и первого её членов равна 1.

а) Пусть $d$ - разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$. По условию, прогрессия возрастающая, значит $d>0$. Нам даны два условия:
1) $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 34$
2) $a_2 \cdot a_5 = 52$
Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: сумма членов, равноудаленных от концов, одинакова. В данном случае, $a_2+a_5 = a_3+a_4$. Тогда первое уравнение можно переписать как $(a_2+a_5) + (a_3+a_4) = 34$, или $2(a_2+a_5) = 34$. Отсюда получаем $a_2+a_5 = 17$.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $a_2$ и $a_5$:
$ \begin{cases} a_2 + a_5 = 17 \\ a_2 \cdot a_5 = 52 \end{cases} $
Согласно теореме Виета, $a_2$ и $a_5$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 17x + 52 = 0$. Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81 = 9^2$. Корни равны: $x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{17 \pm 9}{2}$.
$x_1 = \frac{17-9}{2} = 4$
$x_2 = \frac{17+9}{2} = 13$
Таким образом, у нас есть две возможные пары для $(a_2, a_5)$: $(4, 13)$ и $(13, 4)$. Поскольку по условию прогрессия является возрастающей, то $a_2 < a_5$. Следовательно, выбираем решение $a_2 = 4$ и $a_5 = 13$.
Теперь найдем разность прогрессии $d$. Мы знаем, что $a_5 = a_2 + (5-2)d = a_2 + 3d$. Подставим известные значения: $13 = 4 + 3d$. Отсюда $3d = 9$, и $d=3$. Так как $d=3>0$, условие о возрастании прогрессии выполняется.
Найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_2 = a_1 + d$. $4 = a_1 + 3$, следовательно $a_1 = 1$.
Наконец, найдем двадцатый член прогрессии $a_{20}$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_{20} = a_1 + (20-1)d = 1 + 19 \cdot 3 = 1 + 57 = 58$.
Ответ: $a_{20} = 58$.

б) Пусть $d$ - искомая разность арифметической прогрессии. По условию нам дано:
1) Сумма первого и пятого членов равна 4: $a_1 + a_5 = 4$.
2) Разность квадратов второго и первого членов равна 1: $a_2^2 - a_1^2 = 1$.
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_5 = a_1 + 4d$
Подставим эти выражения в данные нам уравнения. Из первого уравнения:
$a_1 + (a_1 + 4d) = 4$
$2a_1 + 4d = 4$
$a_1 + 2d = 2$, откуда $a_1 = 2 - 2d$.
Рассмотрим второе уравнение. Используем формулу разности квадратов:
$a_2^2 - a_1^2 = (a_2 - a_1)(a_2 + a_1) = 1$.
По определению разности арифметической прогрессии, $a_2 - a_1 = d$. Подставим это в уравнение: $d(a_2+a_1) = 1$.
Теперь подставим выражение для $a_2 = a_1+d$:
$d((a_1+d) + a_1) = 1$
$d(2a_1 + d) = 1$.
Мы получили систему двух уравнений:
$ \begin{cases} a_1 = 2 - 2d \\ d(2a_1 + d) = 1 \end{cases} $
Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:
$d(2(2 - 2d) + d) = 1$
$d(4 - 4d + d) = 1$
$d(4 - 3d) = 1$
$4d - 3d^2 = 1$
$3d^2 - 4d + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $d$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$. Корни уравнения: $d_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.
$d_1 = \frac{4+2}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$d_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба значения являются решением задачи.
Ответ: $d=1$ или $d=\frac{1}{3}$.

111 a) Пятый член геометрической прогрессии равен 32, а восьмой 256. Найдите второй член прогрессии.

б) Восьмой член геометрической прогрессии равен 256, а первый член равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

а) Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии. Также верно соотношение, связывающее любые два члена прогрессии: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

По условию, пятый член прогрессии $b_5 = 32$, а восьмой член $b_8 = 256$. Используем эти данные, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$.

Выразим $b_8$ через $b_5$:

$b_8 = b_5 \cdot q^{8-5}$

$256 = 32 \cdot q^3$

Разделим обе части уравнения на 32:

$q^3 = \frac{256}{32} = 8$

Отсюда находим значение знаменателя:

$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь, зная знаменатель $q=2$, мы можем найти второй член прогрессии $b_2$. Выразим известный нам пятый член $b_5$ через искомый второй член $b_2$:

$b_5 = b_2 \cdot q^{5-2}$

$b_5 = b_2 \cdot q^3$

Подставим известные значения $b_5 = 32$ и $q=2$ в формулу:

$32 = b_2 \cdot 2^3$

$32 = b_2 \cdot 8$

Теперь найдем $b_2$:

$b_2 = \frac{32}{8} = 4$

Ответ: 4

б) По условию, восьмой член геометрической прогрессии $b_8 = 256$, а первый член $b_1 = 2$. Требуется найти знаменатель прогрессии $q$.

Используем основную формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в эту формулу известные нам значения для $n=8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

$256 = 2 \cdot q^7$

Чтобы найти $q^7$, разделим обе части уравнения на 2:

$q^7 = \frac{256}{2} = 128$

Для нахождения $q$ необходимо извлечь корень седьмой степени из 128. Мы знаем, что $2^7 = 128$.

Следовательно, знаменатель прогрессии равен:

$q = \sqrt[7]{128} = 2$

Ответ: 2

112. Произведение первого и седьмого членов геометрической прогрессии равно $b_1 \cdot b_7 = 729$. Найдите четвёртый член прогрессии $b_4$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

По условию задачи, произведение первого и седьмого членов прогрессии равно 729.

$b_1 \cdot b_7 = 729$

Мы ищем четвёртый член прогрессии, $b_4$.

Выразим седьмой и четвёртый члены через первый член $b_1$ и знаменатель $q$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Теперь подставим выражение для $b_7$ в исходное уравнение:

$b_1 \cdot (b_1 \cdot q^6) = 729$

$b_1^2 \cdot q^6 = 729$

Заметим, что левую часть уравнения можно представить в виде квадрата:

$b_1^2 \cdot q^6 = (b_1 \cdot q^3)^2$

Так как $b_4 = b_1 \cdot q^3$, мы получаем:

$(b_4)^2 = 729$

Чтобы найти $b_4$, извлечём квадратный корень из 729:

$b_4 = \pm \sqrt{729}$

$b_4 = \pm 27$

Также можно использовать свойство геометрической прогрессии:

Для любой геометрической прогрессии квадрат n-го члена равен произведению членов, равноудалённых от него:

$b_n^2 = b_{n-k} \cdot b_{n+k}$ (где $n > k \ge 1$)

В нашем случае мы ищем $b_4$. Члены $b_1$ и $b_7$ равноудалены от $b_4$, так как $4-3=1$ и $4+3=7$. То есть, для $n=4$ и $k=3$:

$b_4^2 = b_{4-3} \cdot b_{4+3} = b_1 \cdot b_7$

Поскольку по условию $b_1 \cdot b_7 = 729$, мы сразу получаем уравнение:

$b_4^2 = 729$

$b_4 = \pm 27$

Таким образом, четвёртый член прогрессии может быть равен как 27, так и -27.

Ответ: 27 или -27.

113 Найдите сумму первых четырёх членов возрастающей геометрической прогрессии, сумма первых трёх членов которой равна $13$, а второй член равен $3$.

Пусть $b_1$ — первый член возрастающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Из условия задачи нам известны:

• Сумма первых трёх членов: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 13$
• Второй член: $b_2 = 3$
• Прогрессия является возрастающей, что при положительных членах означает $q > 1$.

Члены геометрической прогрессии связаны формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Выразим первый и третий члены через второй член $b_2$:
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{3}{q}$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3q$

Теперь подставим эти выражения в формулу для суммы первых трёх членов: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{3}{q} + 3 + 3q = 13$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $q$:
$\frac{3}{q} + 3q = 13 - 3$
$\frac{3}{q} + 3q = 10$

Умножим обе части уравнения на $q$ (поскольку $q \ne 0$):
$3 + 3q^2 = 10q$
$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$q_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$q_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

По условию прогрессия является возрастающей. Проверим оба значения $q$:

• Если $q = 1/3$, то прогрессия будет убывающей ($b_1 = 3/(1/3) = 9$, члены: $9, 3, 1, ...$). Этот вариант не подходит.
• Если $q = 3$, то прогрессия будет возрастающей ($b_1 = 3/3 = 1$, члены: $1, 3, 9, ...$). Этот вариант соответствует условию.

Таким образом, мы определили, что $b_1 = 1$ и $q = 3$.

Теперь необходимо найти сумму первых четырёх членов прогрессии, $S_4$. Для этого сначала найдем четвертый член $b_4$:
$b_4 = b_3 \cdot q = (b_2 \cdot q) \cdot q = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Сумма первых четырёх членов $S_4$ равна сумме первых трёх членов $S_3$ плюс четвёртый член $b_4$:
$S_4 = S_3 + b_4 = 13 + 27 = 40$

Ответ: 40

114 a) Первые три члена возрастающей арифметической прогрессии при некотором значении $m$ могут быть представлены соответственно тремя выражениями: $m + 1$, $4m - 9$, $2m + 1$. На сколько больше сумма первых сорока трёх членов этой прогрессии суммы первых сорока её членов?

б) Первые три члена убывающей арифметической прогрессии при некотором значении $n$ могут быть представлены соответственно тремя выражениями: $n + 3$, $6n - 11$, $3n - 9$. На сколько меньше сумма первых тридцати членов этой прогрессии суммы первых двадцати семи её членов?

а)

Для любой арифметической прогрессии $(a_n)$ верно, что каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Для первых трёх членов $a_1, a_2, a_3$ это свойство записывается как: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Подставим данные в условии выражения для членов прогрессии: $a_1 = m + 1$, $a_2 = 4m - 9$ и $a_3 = 2m + 1$. $4m - 9 = \frac{(m + 1) + (2m + 1)}{2}$ $2(4m - 9) = 3m + 2$ $8m - 18 = 3m + 2$ $5m = 20$ $m = 4$

Теперь найдем первые три члена прогрессии, подставив значение $m=4$: $a_1 = 4 + 1 = 5$ $a_2 = 4(4) - 9 = 16 - 9 = 7$ $a_3 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$

Прогрессия имеет вид 5, 7, 9, ... Это возрастающая арифметическая прогрессия, что соответствует условию задачи. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 7 - 5 = 2$

Нужно найти, на сколько сумма первых сорока трёх членов ($S_{43}$) больше суммы первых сорока членов ($S_{40}$). Эта разность равна сумме 41-го, 42-го и 43-го членов прогрессии: $S_{43} - S_{40} = a_{41} + a_{42} + a_{43}$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_{41} = a_1 + (41-1)d = 5 + 40 \cdot 2 = 5 + 80 = 85$ $a_{42} = a_1 + (42-1)d = 5 + 41 \cdot 2 = 5 + 82 = 87$ $a_{43} = a_1 + (43-1)d = 5 + 42 \cdot 2 = 5 + 84 = 89$

Теперь найдем их сумму: $85 + 87 + 89 = 261$

Ответ: 261

б)

Аналогично пункту а), используем свойство арифметической прогрессии: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$. Подставим выражения для членов прогрессии: $a_1 = n + 3$, $a_2 = 6n - 11$ и $a_3 = 3n - 9$. $6n - 11 = \frac{(n + 3) + (3n - 9)}{2}$ $2(6n - 11) = 4n - 6$ $12n - 22 = 4n - 6$ $8n = 16$ $n = 2$

Найдем первые три члена прогрессии при $n=2$: $a_1 = 2 + 3 = 5$ $a_2 = 6(2) - 11 = 12 - 11 = 1$ $a_3 = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$

Прогрессия имеет вид 5, 1, -3, ... Это убывающая арифметическая прогрессия, что соответствует условию. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 1 - 5 = -4$

Нужно найти, на сколько сумма первых тридцати членов ($S_{30}$) меньше суммы первых двадцати семи членов ($S_{27}$). Это эквивалентно нахождению разности $S_{27} - S_{30}$. $S_{27} - S_{30} = S_{27} - (S_{27} + a_{28} + a_{29} + a_{30}) = -(a_{28} + a_{29} + a_{30})$

Найдем 28-й, 29-й и 30-й члены прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_{28} = a_1 + (28-1)d = 5 + 27 \cdot (-4) = 5 - 108 = -103$ $a_{29} = a_1 + (29-1)d = 5 + 28 \cdot (-4) = 5 - 112 = -107$ $a_{30} = a_1 + (30-1)d = 5 + 29 \cdot (-4) = 5 - 116 = -111$

Найдем их сумму: $a_{28} + a_{29} + a_{30} = -103 - 107 - 111 = -321$

Тогда искомая разность равна: $S_{27} - S_{30} = -(-321) = 321$

Ответ: 321