Страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования

Упростите выражение (170–173)¹:

170

а) $ \sin (\pi - \alpha)$;

б) $ \sin (\pi + \alpha)$;

в) $ \cos (\pi - \alpha)$;

г) $ \cos (\pi + \alpha)$;

д) $ \operatorname{tg} (\pi - \alpha)$;

е) $ \operatorname{tg} (\pi + \alpha)$;

ж) $ \operatorname{ctg} (\pi - \alpha)$;

з) $ \operatorname{ctg} (\pi + \alpha)$.

Для решения данных задач используются формулы приведения. Общее правило для углов вида $ \pi \pm \alpha $:
1. Определяется знак исходной тригонометрической функции в четверти, которой принадлежит угол $ \pi \pm \alpha $ (при условии, что $ \alpha $ — острый угол).
2. Название функции не меняется, так как смещение происходит на целое число $ \pi $.

а) Упростим $ \sin(\pi - \alpha) $. Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II координатной четверти. Синус во II четверти положителен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

б) Упростим $ \sin(\pi + \alpha) $. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III координатной четверти. Синус в III четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

в) Упростим $ \cos(\pi - \alpha) $. Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II координатной четверти. Косинус во II четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

г) Упростим $ \cos(\pi + \alpha) $. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III координатной четверти. Косинус в III четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

д) Упростим $ \tg(\pi - \alpha) $. Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II координатной четверти. Тангенс во II четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \tg(\pi - \alpha) = -\tg(\alpha) $.
Ответ: $ -\tg(\alpha) $

е) Упростим $ \tg(\pi + \alpha) $. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III координатной четверти. Тангенс в III четверти положителен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \tg(\pi + \alpha) = \tg(\alpha) $. Также это следует из того, что $ \pi $ является основным периодом функции тангенс.
Ответ: $ \tg(\alpha) $

ж) Упростим $ \ctg(\pi - \alpha) $. Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II координатной четверти. Котангенс во II четверти отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.
Ответ: $ -\ctg(\alpha) $

з) Упростим $ \ctg(\pi + \alpha) $. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III координатной четверти. Котангенс в III четверти положителен. Название функции не меняется. Таким образом, $ \ctg(\pi + \alpha) = \ctg(\alpha) $. Также это следует из того, что $ \pi $ является основным периодом функции котангенс.
Ответ: $ \ctg(\alpha) $

171 a) $ \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

б) $ \sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

в) $ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

г) $ \cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

д) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

е) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

ж) $ \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

з) $ \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right). $

а) Для упрощения выражения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ используются формулы приведения. Поскольку в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию: синус на косинус. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти (если считать $\alpha$ острым углом), а синус в I четверти положителен. Следовательно, знак выражения не меняется.
$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha)$
Ответ: $\cos(\alpha)$

б) Для выражения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ также применяются формулы приведения. Функция синус меняется на косинус. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен. Значит, итоговое выражение будет со знаком плюс.
$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos(\alpha)$
Ответ: $\cos(\alpha)$

в) В выражении $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ из-за слагаемого $\frac{\pi}{2}$ функция косинус меняется на синус. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ расположен в I четверти, где косинус положителен. Поэтому знак сохраняется.
$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha)$
Ответ: $\sin(\alpha)$

г) В выражении $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ функция косинус меняется на синус. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти. В этой четверти косинус отрицателен, поэтому перед полученной функцией ставится знак минус.
$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha)$
Ответ: $-\sin(\alpha)$

д) Для выражения $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ функция тангенс меняется на котангенс. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти, где тангенс положителен. Знак итогового выражения — плюс.
$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha)$
Ответ: $\text{ctg}(\alpha)$

е) В выражении $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ функция тангенс меняется на котангенс. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому перед кофункцией ставится знак минус.
$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha)$
Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

ж) Для выражения $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ функция котангенс меняется на тангенс. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти, где котангенс положителен. Знак итогового выражения — плюс.
$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}(\alpha)$
Ответ: $\text{tg}(\alpha)$

з) В выражении $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ функция котангенс меняется на тангенс. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Следовательно, перед полученной функцией ставится знак минус.
$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{tg}(\alpha)$
Ответ: $-\text{tg}(\alpha)$

172 а) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

б) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

в) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

г) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

д) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

е) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

ж) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

з) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$.

а) Для упрощения выражения $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяются формулы приведения. Процесс состоит из двух шагов:
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, исходная функция $\sin$ меняется на свою кофункцию, то есть на $\cos$.
2. Определение знака: ধরে নিচ্ছি $\alpha$ একটি সূক্ষ্ম কোণ, তাহলে $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। তৃতীয় চতুর্ভাগে $\sin$ এর মান ঋণাত্মক।
Таким образом, итоговое выражение получает знак «минус».
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$

б) Для упрощения выражения $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвёртой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\sin$ имеет отрицательное значение.
Следовательно, результат будет со знаком «минус».
$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$

в) Для упрощения выражения $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\cos$ имеет отрицательное значение.
Таким образом, результат будет со знаком «минус».
$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$

г) Для упрощения выражения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвёртой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\cos$ имеет положительное значение.
Следовательно, знак итогового выражения — «плюс».
$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$

д) Для упрощения выражения $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\tan$ меняется на кофункцию $\cot$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\tan$ имеет положительное значение.
Следовательно, знак итогового выражения — «плюс».
$\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot(\alpha)$.
Ответ: $\cot(\alpha)$

е) Для упрощения выражения $\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\tan$ меняется на кофункцию $\cot$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвёртой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\tan$ имеет отрицательное значение.
Таким образом, результат будет со знаком «минус».
$\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cot(\alpha)$.
Ответ: $-\cot(\alpha)$

ж) Для упрощения выражения $\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\cot$ меняется на кофункцию $\tan$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\cot$ имеет положительное значение.
Следовательно, знак итогового выражения — «плюс».
$\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \tan(\alpha)$.
Ответ: $\tan(\alpha)$

з) Для упрощения выражения $\cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\cot$ меняется на кофункцию $\tan$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвёртой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\cot$ имеет отрицательное значение.
Таким образом, результат будет со знаком «минус».
$\cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tan(\alpha)$.
Ответ: $-\tan(\alpha)$

173 a) $\sin (\pi - \alpha) + \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) - \operatorname{tg} (2\pi - \alpha) + \operatorname{ctg} (\frac{3\pi}{2} - \alpha);$

б) $\sin (90^\circ - \alpha) - \cos (180^\circ - \alpha) - \operatorname{tg} (180^\circ - \alpha) + \operatorname{ctg} (270^\circ + \alpha).$

а) Для упрощения выражения $ \sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \tg(2\pi - \alpha) + \ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $ воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют свести тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Правила для применения формул приведения:

1. Если в формуле содержатся углы $ \pi $ или $ 2\pi $ (горизонтальная ось), название функции не меняется.

2. Если в формуле содержатся углы $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (вертикальная ось), название функции меняется на кофункцию ($ \sin $ на $ \cos $, $ \tg $ на $ \ctg $ и наоборот).

3. Знак перед полученной функцией определяется знаком исходной функции в той четверти, в которой находится угол, если считать $ \alpha $ острым углом.

Применим эти правила к каждому слагаемому:

• $ \sin(\pi - \alpha) $: угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен. Функция не меняется. Получаем $ \sin(\alpha) $.
• $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $: угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Функция меняется на синус. Получаем $ -\sin(\alpha) $.
• $ \tg(2\pi - \alpha) $: угол $ 2\pi - \alpha $ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Функция не меняется. Получаем $ -\tg(\alpha) $.
• $ \ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $: угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где котангенс положителен. Функция меняется на тангенс. Получаем $ \tg(\alpha) $.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \sin(\alpha) + (-\sin(\alpha)) - (-\tg(\alpha)) + \tg(\alpha) = \sin(\alpha) - \sin(\alpha) + \tg(\alpha) + \tg(\alpha) = 2\tg(\alpha) $.

Ответ: $ 2\tg(\alpha) $.

б) Упростим выражение $ \sin(90^\circ - \alpha) - \cos(180^\circ - \alpha) - \tg(180^\circ - \alpha) + \ctg(270^\circ + \alpha) $. Правила приведения аналогичны, только углы даны в градусах ($ 90^\circ $ и $ 270^\circ $ — вертикальная ось, $ 180^\circ $ и $ 360^\circ $ — горизонтальная).

Применим правила к каждому слагаемому:

• $ \sin(90^\circ - \alpha) $: угол $ 90^\circ - \alpha $ находится в I четверти, где синус положителен. Функция меняется на косинус. Получаем $ \cos(\alpha) $.
• $ \cos(180^\circ - \alpha) $: угол $ 180^\circ - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется. Получаем $ -\cos(\alpha) $.
• $ \tg(180^\circ - \alpha) $: угол $ 180^\circ - \alpha $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Функция не меняется. Получаем $ -\tg(\alpha) $.
• $ \ctg(270^\circ + \alpha) $: угол $ 270^\circ + \alpha $ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Функция меняется на тангенс. Получаем $ -\tg(\alpha) $.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \cos(\alpha) - (-\cos(\alpha)) - (-\tg(\alpha)) + (-\tg(\alpha)) = \cos(\alpha) + \cos(\alpha) + \tg(\alpha) - \tg(\alpha) = 2\cos(\alpha) $.

Ответ: $ 2\cos(\alpha) $.

Вычислите (174—178):

174

а) $\sin 135^\circ$;

б) $\sin 210^\circ$;

в) $\sin (-120^\circ)$;

г) $\sin (-150^\circ)$.

а)

Для вычисления значения $\sin 135^\circ$ воспользуемся формулой приведения. Угол $135^\circ$ находится во второй координатной четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$), где значения синуса положительны. Можно представить $135^\circ$ как $180^\circ - 45^\circ$.

Используем формулу $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ$.

Значение $\sin 45^\circ$ является стандартным тригонометрическим значением:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Для вычисления значения $\sin 210^\circ$ воспользуемся формулой приведения. Угол $210^\circ$ находится в третьей координатной четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$), где значения синуса отрицательны. Можно представить $210^\circ$ как $180^\circ + 30^\circ$.

Используем формулу $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$:

$\sin 210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ$.

Значение $\sin 30^\circ$ является стандартным тригонометрическим значением:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin 210^\circ = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в)

Для вычисления $\sin(-120^\circ)$ сначала используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.

$\sin(-120^\circ) = -\sin 120^\circ$.

Теперь найдем значение $\sin 120^\circ$. Угол $120^\circ$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен. Представим $120^\circ$ как $180^\circ - 60^\circ$.

Используем формулу $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$.

Стандартное значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $\sin(-120^\circ) = -\sin 120^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г)

Для вычисления $\sin(-150^\circ)$ используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.

$\sin(-150^\circ) = -\sin 150^\circ$.

Теперь найдем значение $\sin 150^\circ$. Угол $150^\circ$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен. Представим $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$.

Используем формулу $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ$.

Стандартное значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin(-150^\circ) = -\sin 150^\circ = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

175 a) $ \cos 120^\circ; $

б) $ \cos 240^\circ; $

в) $ \cos (-300^\circ); $

г) $ \cos (-135^\circ). $

a) Для нахождения значения $cos(120°)$ воспользуемся формулой приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$. Угол $120°$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Представим $120°$ в виде разности $180° - 60°$.
$cos(120°) = cos(180° - 60°) = -cos(60°)$.
Зная табличное значение $cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем:
$cos(120°) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) Для нахождения значения $cos(240°)$ используем формулу приведения $cos(180° + \alpha) = -cos(\alpha)$. Угол $240°$ находится в третьей четверти, где косинус также отрицателен. Представим $240°$ в виде суммы $180° + 60°$.
$cos(240°) = cos(180° + 60°) = -cos(60°)$.
Так как $cos(60°) = \frac{1}{2}$, то:
$cos(240°) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Для нахождения значения $cos(-300°)$ воспользуемся свойством четности функции косинуса: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
$cos(-300°) = cos(300°)$.
Теперь применим формулу приведения $cos(360° - \alpha) = cos(\alpha)$. Угол $300°$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Представим $300°$ как $360° - 60°$.
$cos(300°) = cos(360° - 60°) = cos(60°)$.
Значение $cos(60°)$ равно $\frac{1}{2}$.
$cos(-300°) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Для нахождения значения $cos(-135°)$ сначала используем свойство четности косинуса: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
$cos(-135°) = cos(135°)$.
Далее используем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$. Угол $135°$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Представим $135°$ как $180° - 45°$.
$cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°)$.
Табличное значение $cos(45°)$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$cos(-135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

176 а) $ \text{tg } 225^\circ $;

б) $ \text{tg } 120^\circ $;

в) $ \text{tg } (-135^\circ) $;

г) $ \text{tg } (-150^\circ) $.

а) Для нахождения значения $\text{tg}\,225^{\circ}$ воспользуемся формулами приведения. Период тангенса равен $180^{\circ}$, поэтому можно представить угол $225^{\circ}$ в виде суммы $180^{\circ}$ и $45^{\circ}$.
$\text{tg}\,225^{\circ} = \text{tg}\,(180^{\circ} + 45^{\circ})$
Согласно формуле приведения $\text{tg}\,(180^{\circ} + \alpha) = \text{tg}\,\alpha$. Угол $225^{\circ}$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен.
$\text{tg}\,(180^{\circ} + 45^{\circ}) = \text{tg}\,45^{\circ}$
Значение тангенса $45^{\circ}$ является табличным и равно 1.
$\text{tg}\,45^{\circ} = 1$
Следовательно, $\text{tg}\,225^{\circ} = 1$.
Ответ: $1$

б) Для вычисления $\text{tg}\,120^{\circ}$ представим угол $120^{\circ}$ через углы, для которых значения тригонометрических функций известны. Угол $120^{\circ}$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен.
Можно представить $120^{\circ}$ как $180^{\circ} - 60^{\circ}$.
$\text{tg}\,120^{\circ} = \text{tg}\,(180^{\circ} - 60^{\circ})$
Используем формулу приведения $\text{tg}\,(180^{\circ} - \alpha) = -\text{tg}\,\alpha$.
$\text{tg}\,(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\text{tg}\,60^{\circ}$
Табличное значение $\text{tg}\,60^{\circ} = \sqrt{3}$.
Таким образом, $\text{tg}\,120^{\circ} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

в) Для нахождения значения $\text{tg}\,(-135^{\circ})$ используем свойство нечетности функции тангенса: $\text{tg}\,(-\alpha) = -\text{tg}\,\alpha$.
$\text{tg}\,(-135^{\circ}) = -\text{tg}\,135^{\circ}$
Теперь найдем $\text{tg}\,135^{\circ}$. Угол $135^{\circ}$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Представим $135^{\circ}$ как $180^{\circ} - 45^{\circ}$.
$\text{tg}\,135^{\circ} = \text{tg}\,(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{tg}\,45^{\circ} = -1$
Подставляя найденное значение, получаем:
$\text{tg}\,(-135^{\circ}) = -(-1) = 1$
Альтернативный способ — использовать периодичность тангенса:
$\text{tg}\,(-135^{\circ}) = \text{tg}\,(-135^{\circ} + 180^{\circ}) = \text{tg}\,45^{\circ} = 1$
Ответ: $1$

г) Для вычисления $\text{tg}\,(-150^{\circ})$ воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\text{tg}\,(-\alpha) = -\text{tg}\,\alpha$.
$\text{tg}\,(-150^{\circ}) = -\text{tg}\,150^{\circ}$
Угол $150^{\circ}$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Представим $150^{\circ}$ как $180^{\circ} - 30^{\circ}$.
$\text{tg}\,150^{\circ} = \text{tg}\,(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\text{tg}\,30^{\circ}$
Табличное значение $\text{tg}\,30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Значит, $\text{tg}\,150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставляем это значение обратно:
$\text{tg}\,(-150^{\circ}) = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Альтернативный способ — использовать периодичность тангенса:
$\text{tg}\,(-150^{\circ}) = \text{tg}\,(-150^{\circ} + 180^{\circ}) = \text{tg}\,30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

177 а) $ctg 150^{\circ}$;

б) $ctg 135^{\circ}$;

в) $ctg (-210^{\circ})$;

г) $ctg (-225^{\circ})$.

а) ctg 150°
Для того чтобы найти значение $ctg(150°)$, воспользуемся формулой приведения. Угол $150°$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Представим угол $150°$ как разность $180° - 30°$.
Формула приведения для котангенса: $ctg(180° - \alpha) = -ctg(\alpha)$.
Применим эту формулу:
$ctg(150°) = ctg(180° - 30°) = -ctg(30°)$
Значение $ctg(30°)$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.
Следовательно:
$ctg(150°) = -\sqrt{3}$
Ответ: $-\sqrt{3}$

б) ctg 135°
Для нахождения значения $ctg(135°)$ также используем формулу приведения. Угол $135°$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Представим угол $135°$ в виде разности $180° - 45°$.
Используем ту же формулу приведения: $ctg(180° - \alpha) = -ctg(\alpha)$.
$ctg(135°) = ctg(180° - 45°) = -ctg(45°)$
Табличное значение $ctg(45°)$ равно 1.
Таким образом:
$ctg(135°) = -1$
Ответ: -1

в) ctg(-210°)
Для вычисления $ctg(-210°)$ сначала воспользуемся свойством нечетности функции котангенса, согласно которому $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.
$ctg(-210°) = -ctg(210°)$
Теперь найдем значение $ctg(210°)$. Угол $210°$ находится в третьей четверти, где котангенс положителен. Применим формулу приведения $ctg(180° + \alpha) = ctg(\alpha)$.
$ctg(210°) = ctg(180° + 30°) = ctg(30°)$
Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что $ctg(30°) = \sqrt{3}$.
Подставляем это значение обратно в исходное выражение:
$ctg(-210°) = -ctg(210°) = -\sqrt{3}$
Ответ: $-\sqrt{3}$

г) ctg(-225°)
Для нахождения значения $ctg(-225°)$ так же, как и в предыдущем пункте, используем свойство нечетности функции котангенса: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.
$ctg(-225°) = -ctg(225°)$
Далее, найдем $ctg(225°)$. Угол $225°$ находится в третьей четверти, где котангенс положителен. Используем формулу приведения $ctg(180° + \alpha) = ctg(\alpha)$.
$ctg(225°) = ctg(180° + 45°) = ctg(45°)$
Табличное значение $ctg(45°)$ равно 1.
Следовательно:
$ctg(-225°) = -ctg(225°) = -1$
Ответ: -1

178 a) $20 \sin 330^\circ \cos (-240^\circ) \operatorname{tg} 120^\circ - 2 \cos 150^\circ \operatorname{tg} (-135^\circ);$

б) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ;$

в) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ + \dots + \operatorname{tg} 160^\circ + \operatorname{tg} 180^\circ.$

а) $20 \sin 330^\circ \cos(-240^\circ) \operatorname{tg} 120^\circ - 2 \cos 150^\circ \operatorname{tg}(-135^\circ)$

Для решения этого выражения необходимо вычислить значения тригонометрических функций для каждого угла, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности функций.

1. Упростим каждый множитель в выражении:

• $\sin 330^\circ = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -{1 \over 2}$
• $\cos(-240^\circ) = \cos(240^\circ)$ (так как косинус — четная функция) $= \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -{1 \over 2}$
• $\operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}$
• $\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -{\sqrt{3} \over 2}$
• $\operatorname{tg}(-135^\circ) = -\operatorname{tg}(135^\circ)$ (так как тангенс — нечетная функция) $= -\operatorname{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -(-\operatorname{tg} 45^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$

2. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$20 \cdot \left(-{1 \over 2}\right) \cdot \left(-{1 \over 2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) - 2 \cdot \left(-{\sqrt{3} \over 2}\right) \cdot 1$

3. Выполним арифметические действия:

$20 \cdot \left({1 \over 4}\right) \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) = 5 \cdot (-\sqrt{3}) + \sqrt{3} = -5\sqrt{3} + \sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

Ответ: $-4\sqrt{3}$

б) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$

Данная сумма представляет собой сумму косинусов углов, образующих арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и разностью $20^\circ$. Всего в сумме 9 членов: от $\cos(20^\circ \cdot 1)$ до $\cos(20^\circ \cdot 9)$.

Для вычисления суммы воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Сгруппируем слагаемые попарно таким образом, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $180^\circ$.

$S = (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) + (\cos 40^\circ + \cos 140^\circ) + (\cos 60^\circ + \cos 120^\circ) + (\cos 80^\circ + \cos 100^\circ) + \cos 180^\circ$

Вычислим сумму в каждой скобке:

• $\cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ$. Тогда $\cos 20^\circ + \cos 160^\circ = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0$.
• $\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ$. Тогда $\cos 40^\circ + \cos 140^\circ = \cos 40^\circ - \cos 40^\circ = 0$.
• $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ$. Тогда $\cos 60^\circ + \cos 120^\circ = \cos 60^\circ - \cos 60^\circ = 0$.
• $\cos 100^\circ = \cos(180^\circ - 80^\circ) = -\cos 80^\circ$. Тогда $\cos 80^\circ + \cos 100^\circ = \cos 80^\circ - \cos 80^\circ = 0$.

Таким образом, все пары слагаемых в сумме дают ноль. Остается только последний член суммы, который не имеет пары:

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + \cos 180^\circ$

Значение $\cos 180^\circ = -1$.

Следовательно, вся сумма равна -1.

Ответ: $-1$

в) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ + \dots + \operatorname{tg} 160^\circ + \operatorname{tg} 180^\circ$

Как и в предыдущем пункте, мы имеем сумму значений тангенсов углов, образующих арифметическую прогрессию. В последовательности углов $20^\circ, 40^\circ, \dots, 180^\circ$ нет угла $90^\circ$, для которого тангенс не определен, поэтому все слагаемые существуют.

Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$ и сгруппируем слагаемые попарно:

$S = (\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 160^\circ) + (\operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 140^\circ) + (\operatorname{tg} 60^\circ + \operatorname{tg} 120^\circ) + (\operatorname{tg} 80^\circ + \operatorname{tg} 100^\circ) + \operatorname{tg} 180^\circ$

Вычислим сумму в каждой скобке:

• $\operatorname{tg} 160^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 20^\circ) = -\operatorname{tg} 20^\circ$. Тогда $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 160^\circ = \operatorname{tg} 20^\circ - \operatorname{tg} 20^\circ = 0$.
• $\operatorname{tg} 140^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 40^\circ) = -\operatorname{tg} 40^\circ$. Тогда $\operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 140^\circ = \operatorname{tg} 40^\circ - \operatorname{tg} 40^\circ = 0$.
• $\operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ$. Тогда $\operatorname{tg} 60^\circ + \operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg} 60^\circ - \operatorname{tg} 60^\circ = 0$.
• $\operatorname{tg} 100^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 80^\circ) = -\operatorname{tg} 80^\circ$. Тогда $\operatorname{tg} 80^\circ + \operatorname{tg} 100^\circ = \operatorname{tg} 80^\circ - \operatorname{tg} 80^\circ = 0$.

Все сгруппированные пары дают в сумме ноль. Остается последнее слагаемое $\operatorname{tg} 180^\circ$.

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + \operatorname{tg} 180^\circ$

Значение $\operatorname{tg} 180^\circ = {\sin 180^\circ \over \cos 180^\circ} = {0 \over -1} = 0$.

Следовательно, вся сумма равна 0.

Ответ: $0$

179 Упростите выражение:

a) $\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} - \text{ctg}\alpha$;

б) $\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} - \text{tg}\alpha$;

в) $1+\cos\alpha - \frac{\sin^2\alpha \cos\alpha}{1-\cos\alpha}$;

г) $1+\sin\alpha - \frac{\cos^2\alpha \sin\alpha}{1-\sin\alpha}$.

а) $ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} - \text{ctg} \alpha $
Чтобы упростить выражение, представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.
$ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin \alpha (1 - \cos \alpha) $:
$ \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha - \cos \alpha (1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} $
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - \cos \alpha}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} $
Сократим числитель и знаменатель на выражение $ (1 - \cos \alpha) $, при условии что $ 1 - \cos \alpha \neq 0 $:
$ \frac{1}{\sin \alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\sin \alpha} $.

б) $ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \text{tg} \alpha $
Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \cos \alpha (1 - \sin \alpha) $:
$ \frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha - \sin \alpha (1 - \sin \alpha)}{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)} $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \frac{(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) - \sin \alpha}{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)} = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)} $
Сократим дробь на $ (1 - \sin \alpha) $, при условии что $ 1 - \sin \alpha \neq 0 $:
$ \frac{1}{\cos \alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\cos \alpha} $.

в) $ 1 + \cos \alpha - \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} $
Сначала упростим дробь. Заменим в числителе $ \sin^2 \alpha $ на $ 1 - \cos^2 \alpha $ согласно основному тригонометрическому тождеству:
$ \frac{(1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} $
Разложим $ (1 - \cos^2 \alpha) $ как разность квадратов: $ (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) $:
$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} $
Сократим дробь на $ (1 - \cos \alpha) $:
$ (1 + \cos \alpha) \cos \alpha = \cos \alpha + \cos^2 \alpha $
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$ 1 + \cos \alpha - (\cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 + \cos \alpha - \cos \alpha - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $
Снова используя основное тригонометрическое тождество, получаем:
$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $
Ответ: $ \sin^2 \alpha $.

г) $ 1 + \sin \alpha - \frac{\cos^2 \alpha \sin \alpha}{1 - \sin \alpha} $
Упростим дробную часть. Заменим в числителе $ \cos^2 \alpha $ на $ 1 - \sin^2 \alpha $:
$ \frac{(1 - \sin^2 \alpha) \sin \alpha}{1 - \sin \alpha} $
Разложим $ (1 - \sin^2 \alpha) $ на множители как разность квадратов: $ (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) $:
$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \sin \alpha}{1 - \sin \alpha} $
Сократим дробь на $ (1 - \sin \alpha) $:
$ (1 + \sin \alpha) \sin \alpha = \sin \alpha + \sin^2 \alpha $
Подставим полученное выражение в исходное:
$ 1 + \sin \alpha - (\sin \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + \sin \alpha - \sin \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $
По основному тригонометрическому тождеству:
$ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $
Ответ: $ \cos^2 \alpha $.