Страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

180 Упростите выражение:

а) $ \frac{2 \cos^2 \alpha - 1}{8 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} $;

б) $ 21.5 - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha + \cos 2\alpha $;

в) $ 2 (\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3 (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) $;

г) $ 4 \sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2} $.

а) Упростим данное выражение, рассмотрев числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель дроби $2 \cos^2 \alpha - 1$ является формулой косинуса двойного угла:
$2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos(2\alpha)$.
Теперь упростим знаменатель $8 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Используем определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$8 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 8 \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 8 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Применим формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$:
$8 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 4 \cdot \left(2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = 4 \sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
По формуле приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, поэтому $4 \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = 4 \cos(2\alpha)$.
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\cos(2\alpha)}{4\cos(2\alpha)} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Рассмотрим выражение $21,5 - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha + \cos 2\alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $21,5 + (\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) + \cos 2\alpha$.
Выражение $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$ можно разложить как разность квадратов:
$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Из формулы косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, следует, что $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$.
Таким образом, $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (-\cos 2\alpha) \cdot 1 = -\cos 2\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$21,5 + (-\cos 2\alpha) + \cos 2\alpha = 21,5 - \cos 2\alpha + \cos 2\alpha = 21,5$.
Ответ: $21,5$.

в) Рассмотрим выражение $2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha)$.
Сначала упростим выражения в скобках.
Для $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$ выделим полный квадрат:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Для $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$ применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)((\sin^2 \alpha)^2 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + (\cos^2 \alpha)^2)$
$= 1 \cdot (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)$.
Подставим уже найденное выражение для $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$:
$= (1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$2(1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 3(1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)$.
Раскроем скобки:
$2 - 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 3 + 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Слагаемые $-6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ и $6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ взаимно уничтожаются, и остается:
$2 - 3 = -1$.
Ответ: $-1$.

г) Рассмотрим выражение $4 \sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2}$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Тогда $\sin^2 2\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$4 \sin^4 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2}$.
Вынесем за скобки общий множитель $4 \sin^2 \alpha$ из первых двух слагаемых:
$4 \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2}$.
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$4 \sin^2 \alpha \cdot 1 - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2} = 4 \sin^2 \alpha - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2}$.
Слагаемые $4 \sin^2 \alpha$ и $-4 \sin^2 \alpha$ взаимно уничтожаются.
В результате остается $-\frac{7}{2}$.
Ответ: $-\frac{7}{2}$.

181 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{1 - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} $, если $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ \frac{1 - \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $, если $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

в) $ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \left(1 + \frac{(1 - \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha}\right) $, если $ \alpha = 210^\circ $;

г) $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $, если $ \alpha = 240^\circ $.

а) Сначала упростим данное выражение. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - sin^2\alpha = cos^2\alpha$.

Подставим это в числитель исходного выражения:

$\frac{1 - \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \sin\alpha}{1 + \sin\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \cos^2\alpha \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}$

Вынесем в числителе общий множитель $\cos^2\alpha$ за скобки:

$\frac{\cos^2\alpha (1 + \sin\alpha)}{1 + \sin\alpha}$

Так как по условию $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, то $\sin\alpha \neq -1$, а значит $1 + \sin\alpha \neq 0$. Следовательно, можно сократить дробь на $(1 + \sin\alpha)$. Получаем:

$\cos^2\alpha$

Теперь подставим заданное значение $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Упростим выражение, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, из которого $1 - cos^2\alpha = sin^2\alpha$.

Подставим в числитель:

$\frac{1 - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \sin^2\alpha \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$

Вынесем в числителе общий множитель $\sin^2\alpha$ за скобки:

$\frac{\sin^2\alpha (1 + \cos\alpha)}{1 + \cos\alpha}$

Так как по условию $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, то $\cos\alpha \neq -1$, а значит $1 + \cos\alpha \neq 0$. Сокращаем дробь на $(1 + \cos\alpha)$:

$\sin^2\alpha$

Подставим заданное значение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Сначала упростим выражение. Начнем с выражения в скобках, приведя его к общему знаменателю $\sin^2\alpha$:

$1 + \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}$

Раскроем скобки в числителе: $(1 - \cos\alpha)^2 = 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha$. Числитель примет вид:

$\sin^2\alpha + 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha$

Используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получим:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 - 2\cos\alpha = 1 + 1 - 2\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha = 2(1 - \cos\alpha)$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2(1 - \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}$.

Теперь умножим на первую дробь:

$\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{2(1 - \cos\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{2(1 + \cos\alpha)(1 - \cos\alpha)}{\sin^3\alpha}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(1+a)(1-a)=1-a^2$:

$\frac{2(1 - \cos^2\alpha)}{\sin^3\alpha}$

И снова применяем основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$:

$\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^3\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$

Теперь найдем значение $\sin\alpha$ при $\alpha = 210^\circ$. Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти.

$\sin(210^\circ) = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot (-2) = -4$

Ответ: $-4$.

г) Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \cos\alpha)\sin\alpha$:

$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)^2}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sin^2\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ в числителе:

$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{1 + 1 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь (при условии, что $1 + \cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$, что выполняется для $\alpha=240^\circ$):

$\frac{2(1 + \cos\alpha)}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$

Теперь найдем значение $\sin\alpha$ при $\alpha = 240^\circ$. Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти.

$\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{2}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{4}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$-\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Найдите значения (182—183):

182 a) cos $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $0.5\pi < \alpha < \pi$;

б) sin $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{9}{41}$ и $\pi < \alpha < 1.5\pi$.

а)

Дано: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $0,5\pi < \alpha < \pi$.

Интервал $0,5\pi < \alpha < \pi$ соответствует второй четверти тригонометрической окружности. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $\cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Отсюда $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos \alpha$ имеет отрицательное значение: $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$.

2. Найдем $\operatorname{tg}\alpha$ по формуле $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.

3. Найдем $\operatorname{ctg}\alpha$ по формуле $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$ или $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12}$.

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$, $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{12}{5}$, $\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{5}{12}$.

б)

Дано: $\cos \alpha = -\frac{9}{41}$ и $\pi < \alpha < 1,5\pi$.

Интервал $\pi < \alpha < 1,5\pi$ соответствует третьей четверти тригонометрической окружности. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдем $\sin \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$.

Отсюда $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$.

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $\sin \alpha$ имеет отрицательное значение: $\sin \alpha = -\frac{40}{41}$.

2. Найдем $\operatorname{tg}\alpha$ по формуле $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{-40/41}{-9/41} = \frac{40}{9}$.

3. Найдем $\operatorname{ctg}\alpha$ по формуле $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.

$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{40/9} = \frac{9}{40}$.

Ответ: $\sin \alpha = -\frac{40}{41}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{40}{9}$, $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{9}{40}$.

183 а) $\text{ctg } \alpha$ и $\sin \alpha$, если $\text{tg } \alpha = - \frac{3}{4}$ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

б) $\text{tg } \alpha$ и $\cos \alpha$, если $\text{ctg } \alpha = - \frac{5}{12}$ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

в) $\cos \alpha$, если $\text{tg } \alpha = - \frac{3}{4}$ и $ 0,5\pi < \alpha < \pi $;

г) $\sin \alpha$, если $\text{ctg } \alpha = - \frac{4}{3}$ и $ 0,5\pi < \alpha < \pi $;

д) $\cos \alpha$, если $\text{tg } \alpha = - \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $ 0,5\pi < \alpha < \pi $;

е) $\sin \alpha$, если $\text{ctg } \alpha = - \frac{\sqrt{7}}{3}$ и $ 1,5\pi < \alpha < 2\pi $.

а) Дано: $\text{tg } \alpha = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Нужно найти $\text{ctg } \alpha$ и $\sin \alpha$.

1. Найдём котангенс, используя тождество $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}$.

$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.

2. Найдём синус, используя тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9}$.

Отсюда $\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$, значит $\sin \alpha = \pm\frac{3}{5}$.

Угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где синус положителен ($\sin \alpha > 0$). Поэтому выбираем знак плюс.

Ответ: $\text{ctg } \alpha = -\frac{4}{3}$, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.

б) Дано: $\text{ctg } \alpha = -\frac{5}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Нужно найти $\text{tg } \alpha$ и $\cos \alpha$.

1. Найдём тангенс, используя тождество $\text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha}$.

$\text{tg } \alpha = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

2. Найдём косинус, используя тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-\frac{12}{5})^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{25+144}{25} = \frac{169}{25}$.

Отсюда $\cos^2 \alpha = \frac{25}{169}$, значит $\cos \alpha = \pm\frac{5}{13}$.

Угол $\alpha$ принадлежит четвёртой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), где косинус положителен ($\cos \alpha > 0$). Поэтому выбираем знак плюс.

Ответ: $\text{tg } \alpha = -\frac{12}{5}$, $\cos \alpha = \frac{5}{13}$.

в) Дано: $\text{tg } \alpha = -\frac{3}{4}$ и $0,5\pi < \alpha < \pi$. Нужно найти $\cos \alpha$.

1. Используем тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16}$.

Отсюда $\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$, значит $\cos \alpha = \pm\frac{4}{5}$.

Угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($0,5\pi < \alpha < \pi$), где косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$). Поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.

г) Дано: $\text{ctg } \alpha = -\frac{4}{3}$ и $0,5\pi < \alpha < \pi$. Нужно найти $\sin \alpha$.

1. Используем тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9}$.

Отсюда $\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$, значит $\sin \alpha = \pm\frac{3}{5}$.

Угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($0,5\pi < \alpha < \pi$), где синус положителен ($\sin \alpha > 0$). Поэтому выбираем знак плюс.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.

д) Дано: $\text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $0,5\pi < \alpha < \pi$. Нужно найти $\cos \alpha$.

1. Используем тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{5}{4} = \frac{4+5}{4} = \frac{9}{4}$.

Отсюда $\cos^2 \alpha = \frac{4}{9}$, значит $\cos \alpha = \pm\frac{2}{3}$.

Угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($0,5\pi < \alpha < \pi$), где косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$). Поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$.

е) Дано: $\text{ctg } \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ и $1,5\pi < \alpha < 2\pi$. Нужно найти $\sin \alpha$.

1. Используем тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-\frac{\sqrt{7}}{3})^2 = 1 + \frac{7}{9} = \frac{9+7}{9} = \frac{16}{9}$.

Отсюда $\sin^2 \alpha = \frac{9}{16}$, значит $\sin \alpha = \pm\frac{3}{4}$.

Угол $\alpha$ принадлежит четвёртой четверти ($1,5\pi < \alpha < 2\pi$), где синус отрицателен ($\sin \alpha < 0$). Поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $\sin \alpha = -\frac{3}{4}$.

184 Докажите справедливость равенства:

a) $\frac{\text{tg} (90^\circ + \alpha) \cos (270^\circ + \alpha) \cos (-\alpha)}{\text{ctg} (180^\circ - \alpha) \sin (270^\circ + \alpha) \sin (-\alpha)} = 1;$

б) $\frac{\cos^2 (270^\circ + \alpha)}{\text{tg}^2 (\alpha - 360^\circ)} + \frac{\cos^2 (-\alpha)}{\text{tg}^2 (\alpha - 270^\circ)} = 1;$

В) $\frac{\text{tg} (\alpha + \pi) \cos (\alpha - 2\pi) \cos (2\pi - \alpha)}{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \text{ctg} (\pi - \alpha) \text{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)} = \sin^2 \alpha;$

Г) $\frac{\sin (\alpha + \pi) \cos \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \text{tg} \left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \text{tg} (\pi + \alpha)} = \text{ctg}^2 \alpha.$

а)

Докажем справедливость равенства $ \frac{\text{tg}(90^\circ + \alpha) \cos(270^\circ + \alpha) \cos(-\alpha)}{\text{ctg}(180^\circ - \alpha) \sin(270^\circ + \alpha) \sin(-\alpha)} = 1 $.
Для этого преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности тригонометрических функций.

Преобразуем каждый множитель в числителе:

• $ \text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (II четверть, тангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию)
• $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) $ (IV четверть, косинус положительный, функция меняется на кофункцию)
• $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (косинус — четная функция)

Преобразуем каждый множитель в знаменателе:

• $ \text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (II четверть, котангенс отрицательный, функция не меняется)
• $ \sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (IV четверть, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию)
• $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (синус — нечетная функция)

Подставим преобразованные выражения в левую часть равенства:

$ \frac{(-\text{ctg}(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{(-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha))} = \frac{-\text{ctg}(\alpha) \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{-\text{ctg}(\alpha) \sin(\alpha) \cos(\alpha)} = 1 $

Получили, что левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $1 = 1$, равенство справедливо.

б)

Докажем справедливость равенства $ \frac{\cos^2(270^\circ + \alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 360^\circ)} + \frac{\cos^2(-\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 270^\circ)} = 1 $.
Преобразуем левую часть равенства.

Рассмотрим первое слагаемое $ \frac{\cos^2(270^\circ + \alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 360^\circ)} $:

• $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) \implies \cos^2(270^\circ + \alpha) = \sin^2(\alpha) $
• $ \text{tg}(\alpha - 360^\circ) = \text{tg}(\alpha) $ (период тангенса $180^\circ$) $ \implies \text{tg}^2(\alpha - 360^\circ) = \text{tg}^2(\alpha) $

Первое слагаемое равно $ \frac{\sin^2(\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}} = \sin^2(\alpha) \cdot \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \cos^2(\alpha) $.

Рассмотрим второе слагаемое $ \frac{\cos^2(-\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 270^\circ)} $:

• $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \implies \cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha) $
• $ \text{tg}(\alpha - 270^\circ) = \text{tg}(-(270^\circ - \alpha)) = -\text{tg}(270^\circ - \alpha) $. В III четверти тангенс положительный, функция меняется на кофункцию, поэтому $ \text{tg}(270^\circ - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. Следовательно, $ \text{tg}(\alpha - 270^\circ) = -\text{ctg}(\alpha) $.
• $ \text{tg}^2(\alpha - 270^\circ) = (-\text{ctg}(\alpha))^2 = \text{ctg}^2(\alpha) $

Второе слагаемое равно $ \frac{\cos^2(\alpha)}{\text{ctg}^2(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}} = \cos^2(\alpha) \cdot \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \sin^2(\alpha) $.

Сложим полученные выражения:

$ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: $1 = 1$, равенство справедливо.

в)

Докажем справедливость равенства $ \frac{\text{tg}(\alpha + \pi) \cos(\alpha - 2\pi) \cos(2\pi - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \text{ctg}(\pi - \alpha) \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} = \sin^2\alpha $.

Преобразуем числитель:

• $ \text{tg}(\alpha + \pi) = \text{tg}(\alpha) $ (период тангенса $ \pi $)
• $ \cos(\alpha - 2\pi) = \cos(\alpha) $ (период косинуса $ 2\pi $)
• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $

Числитель равен $ \text{tg}(\alpha) \cos(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cos^2(\alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

Преобразуем знаменатель (предполагая опечатку в задании и заменяя $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ на $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, что приводит к верному тождеству):

• $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $
• $ \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $
• $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

Знаменатель равен $ \text{ctg}(\alpha) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\text{tg}(\alpha)) = \text{ctg}^2(\alpha) \text{tg}(\alpha) = \text{ctg}(\alpha) \cdot (\text{ctg}(\alpha) \text{tg}(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha) \cdot 1 = \text{ctg}(\alpha) $.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$ \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}} = \sin(\alpha)\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin^2(\alpha) $

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $ \sin^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) $, равенство справедливо.

г)

Докажем справедливость равенства $ \frac{\sin(\alpha + \pi) \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \text{tg}(\pi + \alpha)} = \text{ctg}^2\alpha $.

Преобразуем числитель:

• $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) $
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $
• $ \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \text{tg}(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $

Числитель равен $ (-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) = -\sin^2(\alpha)\text{ctg}(\alpha) $.

Преобразуем знаменатель:

• $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $
• $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $

Знаменатель равен $ (-\sin(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = -\sin^2(\alpha)\text{tg}(\alpha) $.

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-\sin^2(\alpha)\text{ctg}(\alpha)}{-\sin^2(\alpha)\text{tg}(\alpha)} = \frac{\text{ctg}(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)} = \frac{\text{ctg}(\alpha)}{\frac{1}{\text{ctg}(\alpha)}} = \text{ctg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = \text{ctg}^2(\alpha) $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \text{ctg}^2(\alpha) = \text{ctg}^2(\alpha) $, равенство справедливо.