Страница 390 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

230 Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении $1 : 2$, а другой сплав содержит те же металлы в отношении $2 : 3$. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении $17 : 27$?

Для решения задачи введем переменные. Пусть для создания нового сплава взяли $x$ частей первого сплава и $y$ частей второго сплава. Нам необходимо найти отношение $x : y$.

Рассмотрим состав каждого сплава. Пусть металлы, входящие в сплавы, — это Металл 1 и Металл 2.

Первый сплав:
Отношение Металла 1 к Металлу 2 составляет $1:2$. Это значит, что на $1+2=3$ условные единицы массы сплава приходится 1 единица Металла 1 и 2 единицы Металла 2.
Таким образом, доля (концентрация) Металла 1 в первом сплаве равна $\frac{1}{3}$, а доля Металла 2 — $\frac{2}{3}$.
В $x$ частях первого сплава содержится $\frac{1}{3}x$ Металла 1 и $\frac{2}{3}x$ Металла 2.

Второй сплав:
Отношение Металла 1 к Металлу 2 составляет $2:3$. Это значит, что на $2+3=5$ условных единиц массы сплава приходится 2 единицы Металла 1 и 3 единицы Металла 2.
Доля Металла 1 во втором сплаве равна $\frac{2}{5}$, а доля Металла 2 — $\frac{3}{5}$.
В $y$ частях второго сплава содержится $\frac{2}{5}y$ Металла 1 и $\frac{3}{5}y$ Металла 2.

Новый сплав:
При смешивании $x$ частей первого и $y$ частей второго сплавов, общее количество Металла 1 в новом сплаве составит: $M_1 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y$.
Общее количество Металла 2 в новом сплаве составит: $M_2 = \frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y$.

По условию задачи, в новом сплаве отношение Металла 1 к Металлу 2 должно быть $17:27$. Составим уравнение на основе этого отношения: $$ \frac{M_1}{M_2} = \frac{\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y}{\frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y} = \frac{17}{27} $$

Решим это уравнение, чтобы найти отношение $\frac{x}{y}$. Применим перекрестное умножение: $$ 27 \left( \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y \right) = 17 \left( \frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y \right) $$ Раскроем скобки: $$ 9x + \frac{54}{5}y = \frac{34}{3}x + \frac{51}{5}y $$ Сгруппируем члены с $x$ в одной стороне, а с $y$ — в другой: $$ \frac{54}{5}y - \frac{51}{5}y = \frac{34}{3}x - 9x $$ Выполним вычитание: $$ \frac{3}{5}y = \left( \frac{34}{3} - \frac{27}{3} \right)x $$ $$ \frac{3}{5}y = \frac{7}{3}x $$ Теперь выразим искомое отношение $\frac{x}{y}$: $$ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \div \frac{7}{3} $$ $$ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} $$ $$ \frac{x}{y} = \frac{9}{35} $$ Это означает, что отношение массы первого сплава к массе второго сплава должно быть $9:35$.

Ответ: Для получения нового сплава нужно взять 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.

231 Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Даны три металлических сплава. Один фунт первого сплава содержит 12 унций серебра, 1 унцию меди и 3 унции олова. Фунт второго сплава содержит 1 унцию серебра, 12 унций меди и 3 унции олова. Фунт третьего сплава содержит 14 унций меди, 2 унции олова и вовсе не содержит серебра. Из каких трёх сплавов нужно составить новый, фунт которого содержал бы 4 унции серебра, 9 унций меди и 3 унции олова?

Для решения этой задачи составим систему линейных уравнений. Обозначим за $x$, $y$ и $z$ массы (в фунтах) первого, второго и третьего сплавов соответственно, которые необходимо взять для создания нового сплава.

Сначала определим состав каждого сплава и требуемый состав нового сплава в унциях на фунт. Общая масса каждого фунта сплава составляет 16 унций, так как:

• Сплав 1: $12$ (серебро) + $1$ (медь) + $3$ (олово) = $16$ унций.
• Сплав 2: $1$ (серебро) + $12$ (медь) + $3$ (олово) = $16$ унций.
• Сплав 3: $0$ (серебро) + $14$ (медь) + $2$ (олово) = $16$ унций.
• Новый сплав: $4$ (серебро) + $9$ (медь) + $3$ (олово) = $16$ унций.

Мы хотим получить 1 фунт нового сплава, поэтому суммарная масса взятых сплавов должна быть равна 1 фунту:

$x + y + z = 1$

Теперь составим уравнения для каждого металла, исходя из того, что в $x$ фунтах первого сплава содержится $12x$ унций серебра, $1x$ унций меди и $3x$ унций олова, и так далее для остальных сплавов.

Уравнение для серебра:

Количество серебра из первого сплава ($12x$) плюс количество серебра из второго сплава ($1y$) плюс количество серебра из третьего сплава ($0z$) должно равняться количеству серебра в новом сплаве (4 унции).

$12x + y = 4$

Уравнение для меди:

$x + 12y + 14z = 9$

Уравнение для олова:

$3x + 3y + 2z = 3$

Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными (уравнение для общей массы является следствием этих трех, так как сумма масс металлов в каждом фунте равна 16 унциям):

$ \begin{cases} 12x + y = 4 \\ x + 12y + 14z = 9 \\ 3x + 3y + 2z = 3 \end{cases} $

Шаг 1: Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 4 - 12x$

Шаг 2: Подставим это выражение для $y$ во второе и третье уравнения системы.

Подстановка во второе уравнение:

$x + 12(4 - 12x) + 14z = 9$

$x + 48 - 144x + 14z = 9$

$-143x + 14z = 9 - 48$

$-143x + 14z = -39$

Умножим на -1 для удобства:

$143x - 14z = 39$ (Уравнение А)

Подстановка в третье уравнение:

$3x + 3(4 - 12x) + 2z = 3$

$3x + 12 - 36x + 2z = 3$

$-33x + 2z = 3 - 12$

$-33x + 2z = -9$

Умножим на -1:

$33x - 2z = 9$ (Уравнение Б)

Шаг 3: Решим систему из двух уравнений (А и Б) с двумя неизвестными $x$ и $z$.

$ \begin{cases} 143x - 14z = 39 \\ 33x - 2z = 9 \end{cases} $

Из уравнения Б выразим $2z$:

$2z = 33x - 9$

Чтобы подставить это в уравнение А, умножим уравнение А на 1, а уравнение Б на 7, чтобы коэффициенты при $z$ стали одинаковыми по модулю:

$7 \times (33x - 2z) = 7 \times 9$

$231x - 14z = 63$ (Уравнение В)

Теперь вычтем уравнение А из уравнения В:

$(231x - 14z) - (143x - 14z) = 63 - 39$

$231x - 143x = 24$

$88x = 24$

$x = \frac{24}{88} = \frac{3 \times 8}{11 \times 8} = \frac{3}{11}$

Шаг 4: Найдем $z$, подставив значение $x$ в уравнение Б:

$33(\frac{3}{11}) - 2z = 9$

$3 \times 3 - 2z = 9$

$9 - 2z = 9$

$-2z = 0$

$z = 0$

Шаг 5: Найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 4 - 12x$:

$y = 4 - 12(\frac{3}{11}) = 4 - \frac{36}{11} = \frac{44}{11} - \frac{36}{11} = \frac{8}{11}$

Таким образом, для получения нового сплава нужно взять $\frac{3}{11}$ фунта первого сплава, $\frac{8}{11}$ фунта второго сплава и 0 фунтов третьего сплава.

Проверка:

Общая масса: $x + y + z = \frac{3}{11} + \frac{8}{11} + 0 = \frac{11}{11} = 1$ фунт. Верно.

Масса серебра: $12x + y = 12(\frac{3}{11}) + \frac{8}{11} = \frac{36}{11} + \frac{8}{11} = \frac{44}{11} = 4$ унции. Верно.

Масса меди: $x + 12y + 14z = \frac{3}{11} + 12(\frac{8}{11}) + 14(0) = \frac{3}{11} + \frac{96}{11} = \frac{99}{11} = 9$ унций. Верно.

Масса олова: $3x + 3y + 2z = 3(\frac{3}{11}) + 3(\frac{8}{11}) + 2(0) = \frac{9}{11} + \frac{24}{11} = \frac{33}{11} = 3$ унции. Верно.

Все условия выполнены. Хотя в вопросе говорится о трех сплавах, для получения нужной смеси третий сплав не требуется.

Ответ: Для составления нового сплава нужно взять $\frac{3}{11}$ фунта первого сплава, $\frac{8}{11}$ фунта второго сплава и не использовать третий сплав (0 фунтов).

232 Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто покупает 40 мер пшеницы, 24 ячменя и 20 овса за 15 фунтов 12 шиллингов1. Затем он производит вторую закупку тех же сортов в 26 мер пшеницы, 30 ячменя и 50 овса за 16 фунтов. Наконец, он делает третью закупку тех же сортов в 24 меры пшеницы, 120 ячменя и 100 овса за 34 фунта. Спрашивается цена меры каждого рода зерновых.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие цену за одну меру каждого вида зерна. Пусть:

• $x$ — цена одной меры пшеницы в шиллингах,
• $y$ — цена одной меры ячменя в шиллингах,
• $z$ — цена одной меры овса в шиллингах.

Сначала переведем все цены в единую валюту — шиллинги, зная, что 1 фунт стерлингов равен 20 шиллингам.

• Первая закупка: 15 фунтов 12 шиллингов = $15 \times 20 + 12 = 312$ шиллингов.
• Вторая закупка: 16 фунтов = $16 \times 20 = 320$ шиллингов.
• Третья закупка: 34 фунта = $34 \times 20 = 680$ шиллингов.

Теперь составим систему из трех линейных уравнений на основе данных о закупках:

$40x + 24y + 20z = 312$ (1)
$26x + 30y + 50z = 320$ (2)
$24x + 120y + 100z = 680$ (3)

Для упрощения вычислений разделим каждое уравнение на наибольший общий делитель его коэффициентов:

• Уравнение (1) разделим на 4: $10x + 6y + 5z = 78$ (I)
• Уравнение (2) разделим на 2: $13x + 15y + 25z = 160$ (II)
• Уравнение (3) разделим на 4: $6x + 30y + 25z = 170$ (III)

Теперь у нас есть более простая система. Заметим, что в уравнениях (II) и (III) коэффициент при $z$ одинаков. Вычтем уравнение (II) из уравнения (III), чтобы исключить переменную $z$:

$(6x + 30y + 25z) - (13x + 15y + 25z) = 170 - 160$

$-7x + 15y = 10$ (IV)

Теперь исключим $z$ из другой пары уравнений. Умножим уравнение (I) на 5, чтобы коэффициент при $z$ стал равен 25, как в уравнении (II):

$5 \times (10x + 6y + 5z) = 5 \times 78$

$50x + 30y + 25z = 390$ (V)

Вычтем уравнение (II) из полученного уравнения (V):

$(50x + 30y + 25z) - (13x + 15y + 25z) = 390 - 160$

$37x + 15y = 230$ (VI)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными (IV) и (VI):

$-7x + 15y = 10$
$37x + 15y = 230$

Вычтем уравнение (IV) из уравнения (VI), чтобы исключить $y$:

$(37x + 15y) - (-7x + 15y) = 230 - 10$

$44x = 220$

$x = \frac{220}{44} = 5$

Мы нашли цену пшеницы: $x = 5$ шиллингов за меру.

Подставим значение $x=5$ в уравнение (IV), чтобы найти $y$:

$-7(5) + 15y = 10$

$-35 + 15y = 10$

$15y = 45$

$y = \frac{45}{15} = 3$

Мы нашли цену ячменя: $y = 3$ шиллинга за меру.

Наконец, подставим найденные значения $x=5$ и $y=3$ в самое простое из исходных уравнений, например, в уравнение (I):

$10x + 6y + 5z = 78$

$10(5) + 6(3) + 5z = 78$

$50 + 18 + 5z = 78$

$68 + 5z = 78$

$5z = 10$

$z = \frac{10}{5} = 2$

Мы нашли цену овса: $z = 2$ шиллинга за меру.

Ответ: цена одной меры пшеницы — 5 шиллингов, цена одной меры ячменя — 3 шиллинга, цена одной меры овса — 2 шиллинга.

233 a) Имелось два раствора кислоты в воде: 60%-ный и 20%-ный. Первую смесь получили из некоторого количества первого раствора и 15 л второго, а вторую смесь — из прежнего количества первого и 5 л второго. Сколько литров первого раствора использовали для приготовления каждой смеси, если концентрация кислоты в первой смеси вдвое меньше концентрации воды во второй?

б) Имеется два слитка, содержащие 40% и 80% цинка. Первый сплав получили из 5 кг первого слитка и некоторого количества второго, а второй сплав получили из 3 кг первого слитка и прежнего количества второго. Сколько килограммов второго слитка использовано для приготовления каждого сплава, если содержание цинка в первом сплаве на 5% меньше, чем во втором, и вес второго слитка не превышает 8 кг?

в) Имеется два слитка меди и цинка, второй из которых содержит 70% меди. Первый сплав, содержащий 45% цинка, получили из 5 кг первого слитка и некоторого количества второго, а второй сплав, содержащий 50% меди, получили из 10 кг первого слитка и прежнего количества второго. Каково процентное содержание меди в первом слитке?

г) Имеется два слитка меди и серебра, содержащие 60% и 40% меди соответственно. Первый сплав получили, взяв 15 кг первого слитка и некоторое количество второго. Второй сплав получили, взяв 20 кг первого слитка и прежнее количество второго слитка. Сколько килограммов второго слитка использовано для приготовления каждого сплава, если концентрация меди в первом сплаве относится к концентрации серебра во втором как $5 : 4$?

а) Пусть для приготовления каждой смеси использовали $x$ литров первого (60%-го) раствора.
Первая смесь состоит из $x$ л 60%-го раствора и 15 л 20%-го раствора. Общий объем первой смеси: $x + 15$ л. Количество кислоты в ней: $0.6x + 0.2 \cdot 15 = 0.6x + 3$ л. Концентрация кислоты в первой смеси: $C_{к1} = \frac{0.6x + 3}{x + 15}$.
Вторая смесь состоит из $x$ л 60%-го раствора и 5 л 20%-го раствора. Общий объем второй смеси: $x + 5$ л. Количество кислоты в ней: $0.6x + 0.2 \cdot 5 = 0.6x + 1$ л. Концентрация кислоты во второй смеси: $C_{к2} = \frac{0.6x + 1}{x + 5}$.
Концентрация воды во второй смеси равна $C_{в2} = 1 - C_{к2} = 1 - \frac{0.6x + 1}{x + 5} = \frac{x + 5 - (0.6x + 1)}{x + 5} = \frac{0.4x + 4}{x + 5}$.
По условию, концентрация кислоты в первой смеси вдвое меньше концентрации воды во второй: $C_{к1} = \frac{1}{2}C_{в2}$.
$\frac{0.6x + 3}{x + 15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0.4x + 4}{x + 5}$
$\frac{0.6x + 3}{x + 15} = \frac{0.2x + 2}{x + 5}$
Перемножим крест-накрест:
$(0.6x + 3)(x + 5) = (0.2x + 2)(x + 15)$
$0.6x^2 + 3x + 3x + 15 = 0.2x^2 + 3x + 2x + 30$
$0.6x^2 + 6x + 15 = 0.2x^2 + 5x + 30$
$0.4x^2 + x - 15 = 0$
Умножим уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:
$2x^2 + 5x - 75 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75) = 25 + 600 = 625 = 25^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 25}{4}$
Так как объем не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком плюс:
$x = \frac{-5 + 25}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Ответ: 5 литров.

б) Пусть для приготовления каждого сплава использовали $y$ кг второго (80%-го) слитка. По условию $y \le 8$ кг.
Первый сплав получили из 5 кг первого слитка (40% цинка) и $y$ кг второго. Общая масса: $5 + y$ кг. Масса цинка: $5 \cdot 0.4 + y \cdot 0.8 = 2 + 0.8y$ кг. Содержание цинка в первом сплаве: $C_{ц1} = \frac{2 + 0.8y}{5 + y}$.
Второй сплав получили из 3 кг первого слитка и $y$ кг второго. Общая масса: $3 + y$ кг. Масса цинка: $3 \cdot 0.4 + y \cdot 0.8 = 1.2 + 0.8y$ кг. Содержание цинка во втором сплаве: $C_{ц2} = \frac{1.2 + 0.8y}{3 + y}$.
По условию, содержание цинка в первом сплаве на 5% (т.е. на 0.05) меньше, чем во втором: $C_{ц1} = C_{ц2} - 0.05$.
$\frac{2 + 0.8y}{5 + y} = \frac{1.2 + 0.8y}{3 + y} - 0.05$
$\frac{2 + 0.8y}{5 + y} = \frac{1.2 + 0.8y - 0.05(3 + y)}{3 + y}$
$\frac{2 + 0.8y}{5 + y} = \frac{1.2 + 0.8y - 0.15 - 0.05y}{3 + y}$
$\frac{2 + 0.8y}{5 + y} = \frac{1.05 + 0.75y}{3 + y}$
$(2 + 0.8y)(3 + y) = (1.05 + 0.75y)(5 + y)$
$6 + 2y + 2.4y + 0.8y^2 = 5.25 + 1.05y + 3.75y + 0.75y^2$
$0.8y^2 + 4.4y + 6 = 0.75y^2 + 4.8y + 5.25$
$0.05y^2 - 0.4y + 0.75 = 0$
Умножим уравнение на 20:
$y^2 - 8y + 15 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 3$, $y_2 = 5$.
Оба значения удовлетворяют условию $y \le 8$. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 3 кг или 5 кг.

в) Пусть процентное содержание меди в первом слитке равно $c_1$ (в долях), а масса второго слитка, взятого для сплавов, равна $y$ кг. Тогда содержание цинка в первом слитке равно $z_1 = 1 - c_1$. Во втором слитке содержание меди $c_2 = 0.7$, а цинка $z_2 = 1 - 0.7 = 0.3$.
Для первого сплава (45% цинка) взяли 5 кг первого слитка и $y$ кг второго. Уравнение для массы цинка:
$5z_1 + yz_2 = 0.45(5 + y)$
$5(1 - c_1) + 0.3y = 0.45(5 + y)$
$5 - 5c_1 + 0.3y = 2.25 + 0.45y$
$2.75 - 5c_1 = 0.15y$ (1)
Для второго сплава (50% меди) взяли 10 кг первого слитка и $y$ кг второго. Уравнение для массы меди:
$10c_1 + yc_2 = 0.5(10 + y)$
$10c_1 + 0.7y = 5 + 0.5y$
$10c_1 = 5 - 0.2y$ (2)
Из уравнения (2) выразим $y$:
$0.2y = 5 - 10c_1 \implies y = \frac{5 - 10c_1}{0.2} = 25 - 50c_1$.
Подставим выражение для $y$ в уравнение (1):
$2.75 - 5c_1 = 0.15(25 - 50c_1)$
$2.75 - 5c_1 = 3.75 - 7.5c_1$
$7.5c_1 - 5c_1 = 3.75 - 2.75$
$2.5c_1 = 1$
$c_1 = \frac{1}{2.5} = 0.4$.
Процентное содержание меди в первом слитке равно $0.4 \cdot 100\% = 40\%$.

Ответ: 40%.

г) Пусть для приготовления каждого сплава использовали $y$ кг второго слитка.
Первый слиток: 60% меди, 40% серебра. Второй слиток: 40% меди, 60% серебра.
Первый сплав получили из 15 кг первого слитка и $y$ кг второго. Общая масса: $15+y$ кг. Масса меди в нем: $15 \cdot 0.6 + y \cdot 0.4 = 9 + 0.4y$ кг. Концентрация меди в первом сплаве: $C_{м1} = \frac{9 + 0.4y}{15 + y}$.
Второй сплав получили из 20 кг первого слитка и $y$ кг второго. Общая масса: $20+y$ кг. Масса серебра в нем: $20 \cdot 0.4 + y \cdot 0.6 = 8 + 0.6y$ кг. Концентрация серебра во втором сплаве: $C_{с2} = \frac{8 + 0.6y}{20 + y}$.
По условию, отношение концентрации меди в первом сплаве к концентрации серебра во втором равно 5:4.
$\frac{C_{м1}}{C_{с2}} = \frac{5}{4} \implies 4C_{м1} = 5C_{с2}$
$4 \cdot \frac{9 + 0.4y}{15 + y} = 5 \cdot \frac{8 + 0.6y}{20 + y}$
$4(9 + 0.4y)(20 + y) = 5(8 + 0.6y)(15 + y)$
$4(180 + 9y + 8y + 0.4y^2) = 5(120 + 8y + 9y + 0.6y^2)$
$4(0.4y^2 + 17y + 180) = 5(0.6y^2 + 17y + 120)$
$1.6y^2 + 68y + 720 = 3y^2 + 85y + 600$
$0 = (3 - 1.6)y^2 + (85 - 68)y + (600 - 720)$
$0 = 1.4y^2 + 17y - 120$
Умножим уравнение на 5:
$7y^2 + 85y - 600 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 85^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-600) = 7225 + 16800 = 24025 = 155^2$
$y = \frac{-85 \pm 155}{2 \cdot 7} = \frac{-85 \pm 155}{14}$
Так как масса $y$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс:
$y = \frac{-85 + 155}{14} = \frac{70}{14} = 5$.

Ответ: 5 кг.