Номер 231, страница 390 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на сплавы и смеси. Задания для повторения - номер 231, страница 390.

231 Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Даны три металлических сплава. Один фунт первого сплава содержит 12 унций серебра, 1 унцию меди и 3 унции олова. Фунт второго сплава содержит 1 унцию серебра, 12 унций меди и 3 унции олова. Фунт третьего сплава содержит 14 унций меди, 2 унции олова и вовсе не содержит серебра. Из каких трёх сплавов нужно составить новый, фунт которого содержал бы 4 унции серебра, 9 унций меди и 3 унции олова?

Для решения этой задачи составим систему линейных уравнений. Обозначим за $x$, $y$ и $z$ массы (в фунтах) первого, второго и третьего сплавов соответственно, которые необходимо взять для создания нового сплава.

Сначала определим состав каждого сплава и требуемый состав нового сплава в унциях на фунт. Общая масса каждого фунта сплава составляет 16 унций, так как:

• Сплав 1: $12$ (серебро) + $1$ (медь) + $3$ (олово) = $16$ унций.
• Сплав 2: $1$ (серебро) + $12$ (медь) + $3$ (олово) = $16$ унций.
• Сплав 3: $0$ (серебро) + $14$ (медь) + $2$ (олово) = $16$ унций.
• Новый сплав: $4$ (серебро) + $9$ (медь) + $3$ (олово) = $16$ унций.

Мы хотим получить 1 фунт нового сплава, поэтому суммарная масса взятых сплавов должна быть равна 1 фунту:

$x + y + z = 1$

Теперь составим уравнения для каждого металла, исходя из того, что в $x$ фунтах первого сплава содержится $12x$ унций серебра, $1x$ унций меди и $3x$ унций олова, и так далее для остальных сплавов.

Уравнение для серебра:

Количество серебра из первого сплава ($12x$) плюс количество серебра из второго сплава ($1y$) плюс количество серебра из третьего сплава ($0z$) должно равняться количеству серебра в новом сплаве (4 унции).

$12x + y = 4$

Уравнение для меди:

$x + 12y + 14z = 9$

Уравнение для олова:

$3x + 3y + 2z = 3$

Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными (уравнение для общей массы является следствием этих трех, так как сумма масс металлов в каждом фунте равна 16 унциям):

$ \begin{cases} 12x + y = 4 \\ x + 12y + 14z = 9 \\ 3x + 3y + 2z = 3 \end{cases} $

Шаг 1: Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 4 - 12x$

Шаг 2: Подставим это выражение для $y$ во второе и третье уравнения системы.

Подстановка во второе уравнение:

$x + 12(4 - 12x) + 14z = 9$

$x + 48 - 144x + 14z = 9$

$-143x + 14z = 9 - 48$

$-143x + 14z = -39$

Умножим на -1 для удобства:

$143x - 14z = 39$ (Уравнение А)

Подстановка в третье уравнение:

$3x + 3(4 - 12x) + 2z = 3$

$3x + 12 - 36x + 2z = 3$

$-33x + 2z = 3 - 12$

$-33x + 2z = -9$

Умножим на -1:

$33x - 2z = 9$ (Уравнение Б)

Шаг 3: Решим систему из двух уравнений (А и Б) с двумя неизвестными $x$ и $z$.

$ \begin{cases} 143x - 14z = 39 \\ 33x - 2z = 9 \end{cases} $

Из уравнения Б выразим $2z$:

$2z = 33x - 9$

Чтобы подставить это в уравнение А, умножим уравнение А на 1, а уравнение Б на 7, чтобы коэффициенты при $z$ стали одинаковыми по модулю:

$7 \times (33x - 2z) = 7 \times 9$

$231x - 14z = 63$ (Уравнение В)

Теперь вычтем уравнение А из уравнения В:

$(231x - 14z) - (143x - 14z) = 63 - 39$

$231x - 143x = 24$

$88x = 24$

$x = \frac{24}{88} = \frac{3 \times 8}{11 \times 8} = \frac{3}{11}$

Шаг 4: Найдем $z$, подставив значение $x$ в уравнение Б:

$33(\frac{3}{11}) - 2z = 9$

$3 \times 3 - 2z = 9$

$9 - 2z = 9$

$-2z = 0$

$z = 0$

Шаг 5: Найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 4 - 12x$:

$y = 4 - 12(\frac{3}{11}) = 4 - \frac{36}{11} = \frac{44}{11} - \frac{36}{11} = \frac{8}{11}$

Таким образом, для получения нового сплава нужно взять $\frac{3}{11}$ фунта первого сплава, $\frac{8}{11}$ фунта второго сплава и 0 фунтов третьего сплава.

Проверка:

Общая масса: $x + y + z = \frac{3}{11} + \frac{8}{11} + 0 = \frac{11}{11} = 1$ фунт. Верно.

Масса серебра: $12x + y = 12(\frac{3}{11}) + \frac{8}{11} = \frac{36}{11} + \frac{8}{11} = \frac{44}{11} = 4$ унции. Верно.

Масса меди: $x + 12y + 14z = \frac{3}{11} + 12(\frac{8}{11}) + 14(0) = \frac{3}{11} + \frac{96}{11} = \frac{99}{11} = 9$ унций. Верно.

Масса олова: $3x + 3y + 2z = 3(\frac{3}{11}) + 3(\frac{8}{11}) + 2(0) = \frac{9}{11} + \frac{24}{11} = \frac{33}{11} = 3$ унции. Верно.

Все условия выполнены. Хотя в вопросе говорится о трех сплавах, для получения нужной смеси третий сплав не требуется.

Ответ: Для составления нового сплава нужно взять $\frac{3}{11}$ фунта первого сплава, $\frac{8}{11}$ фунта второго сплава и не использовать третий сплав (0 фунтов).