Номер 234, страница 391 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на сплавы и смеси. Задания для повторения - номер 234, страница 391.

234 a) Если два сплава золота сплавить в отношении 3 : 7, то получится сплав, содержащий $87\%$ золота. Если же эти сплавы сплавить в отношении 7 : 3, то получится сплав, содержащий $83\%$ золота. Найдите процентное содержание золота в первом сплаве.

б) Если два раствора соли смешать в отношении 2 : 3, то получится раствор, содержащий $6,8\%$ соли. Если же эти растворы смешать в отношении 3 : 2, то получится раствор, содержащий $6,2\%$ соли. Найдите процентное содержание соли во втором растворе.

а)

Пусть $x$ — процентное содержание золота в первом сплаве, а $y$ — процентное содержание золота во втором сплаве. Процентное содержание вещества в смеси (сплаве) равно среднему взвешенному процентных содержаний компонентов, где в качестве весов выступают их доли в смеси.

В первом случае сплавы берутся в отношении $3:7$. Общее количество частей равно $3+7=10$. Масса первого сплава составляет $3/10$ от общей массы, а второго — $7/10$. Процентное содержание золота в полученном сплаве равно 87%. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{3 \cdot x + 7 \cdot y}{3 + 7} = 87$
$\frac{3x + 7y}{10} = 87$
$3x + 7y = 870$ (1)

Во втором случае сплавы берутся в отношении $7:3$. Общее количество частей равно $7+3=10$. Масса первого сплава составляет $7/10$ от общей массы, а второго — $3/10$. Процентное содержание золота в полученном сплаве равно 83%. Составляем второе уравнение:
$\frac{7 \cdot x + 3 \cdot y}{7 + 3} = 83$
$\frac{7x + 3y}{10} = 83$
$7x + 3y = 830$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} 3x + 7y = 870 \\ 7x + 3y = 830 \end{cases}$

Для нахождения $x$ (процентное содержание золота в первом сплаве) решим систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 7, чтобы коэффициенты при $y$ стали одинаковыми:
$3 \cdot (3x + 7y) = 3 \cdot 870 \implies 9x + 21y = 2610$
$7 \cdot (7x + 3y) = 7 \cdot 830 \implies 49x + 21y = 5810$

Теперь вычтем первое новое уравнение из второго:
$(49x + 21y) - (9x + 21y) = 5810 - 2610$
$40x = 3200$
$x = \frac{3200}{40}$
$x = 80$

Таким образом, процентное содержание золота в первом сплаве составляет 80%.
Ответ: 80%.

б)

Пусть $p$ — процентное содержание соли в первом растворе, а $q$ — процентное содержание соли во втором растворе.

В первом случае растворы смешивают в отношении $2:3$. Общее количество частей равно $2+3=5$. Концентрация соли в полученном растворе составляет 6,8%. Составляем первое уравнение:
$\frac{2 \cdot p + 3 \cdot q}{2 + 3} = 6,8$
$\frac{2p + 3q}{5} = 6,8$
$2p + 3q = 34$ (1)

Во втором случае растворы смешивают в отношении $3:2$. Общее количество частей равно $3+2=5$. Концентрация соли в полученном растворе равна 6,2%. Составляем второе уравнение:
$\frac{3 \cdot p + 2 \cdot q}{3 + 2} = 6,2$
$\frac{3p + 2q}{5} = 6,2$
$3p + 2q = 31$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 2p + 3q = 34 \\ 3p + 2q = 31 \end{cases}$

Для нахождения $q$ (процентное содержание соли во втором растворе) решим систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $p$ стали одинаковыми:
$3 \cdot (2p + 3q) = 3 \cdot 34 \implies 6p + 9q = 102$
$2 \cdot (3p + 2q) = 2 \cdot 31 \implies 6p + 4q = 62$

Теперь вычтем второе новое уравнение из первого:
$(6p + 9q) - (6p + 4q) = 102 - 62$
$5q = 40$
$q = \frac{40}{5}$
$q = 8$

Таким образом, процентное содержание соли во втором растворе составляет 8%.
Ответ: 8%.