Номер 230, страница 390 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на сплавы и смеси. Задания для повторения - номер 230, страница 390.

230 Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении $1 : 2$, а другой сплав содержит те же металлы в отношении $2 : 3$. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении $17 : 27$?

Для решения задачи введем переменные. Пусть для создания нового сплава взяли $x$ частей первого сплава и $y$ частей второго сплава. Нам необходимо найти отношение $x : y$.

Рассмотрим состав каждого сплава. Пусть металлы, входящие в сплавы, — это Металл 1 и Металл 2.

Первый сплав:
Отношение Металла 1 к Металлу 2 составляет $1:2$. Это значит, что на $1+2=3$ условные единицы массы сплава приходится 1 единица Металла 1 и 2 единицы Металла 2.
Таким образом, доля (концентрация) Металла 1 в первом сплаве равна $\frac{1}{3}$, а доля Металла 2 — $\frac{2}{3}$.
В $x$ частях первого сплава содержится $\frac{1}{3}x$ Металла 1 и $\frac{2}{3}x$ Металла 2.

Второй сплав:
Отношение Металла 1 к Металлу 2 составляет $2:3$. Это значит, что на $2+3=5$ условных единиц массы сплава приходится 2 единицы Металла 1 и 3 единицы Металла 2.
Доля Металла 1 во втором сплаве равна $\frac{2}{5}$, а доля Металла 2 — $\frac{3}{5}$.
В $y$ частях второго сплава содержится $\frac{2}{5}y$ Металла 1 и $\frac{3}{5}y$ Металла 2.

Новый сплав:
При смешивании $x$ частей первого и $y$ частей второго сплавов, общее количество Металла 1 в новом сплаве составит: $M_1 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y$.
Общее количество Металла 2 в новом сплаве составит: $M_2 = \frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y$.

По условию задачи, в новом сплаве отношение Металла 1 к Металлу 2 должно быть $17:27$. Составим уравнение на основе этого отношения: $$ \frac{M_1}{M_2} = \frac{\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y}{\frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y} = \frac{17}{27} $$

Решим это уравнение, чтобы найти отношение $\frac{x}{y}$. Применим перекрестное умножение: $$ 27 \left( \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y \right) = 17 \left( \frac{2}{3}x + \frac{3}{5}y \right) $$ Раскроем скобки: $$ 9x + \frac{54}{5}y = \frac{34}{3}x + \frac{51}{5}y $$ Сгруппируем члены с $x$ в одной стороне, а с $y$ — в другой: $$ \frac{54}{5}y - \frac{51}{5}y = \frac{34}{3}x - 9x $$ Выполним вычитание: $$ \frac{3}{5}y = \left( \frac{34}{3} - \frac{27}{3} \right)x $$ $$ \frac{3}{5}y = \frac{7}{3}x $$ Теперь выразим искомое отношение $\frac{x}{y}$: $$ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \div \frac{7}{3} $$ $$ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} $$ $$ \frac{x}{y} = \frac{9}{35} $$ Это означает, что отношение массы первого сплава к массе второго сплава должно быть $9:35$.

Ответ: Для получения нового сплава нужно взять 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.