Номер 223, страница 388 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на проценты. Задания для повторения - номер 223, страница 388.

223 a) В городе $N$ в течение двух лет наблюдался рост числа жителей. За второй год процент роста числа жителей города $N$ увеличился на 1 по сравнению с процентом роста числа жителей за первый год. Найдите процент роста числа жителей за первый год, если известно, что он на 5,2 меньше, чем процент роста населения за два года.

б) В городе $N$ в течение двух лет наблюдался рост числа жителей. За второй год процент роста числа жителей увеличился на 1 по сравнению с процентом роста числа жителей за первый год. Найдите процент роста числа жителей за второй год, если известно, что он на 5,3 меньше, чем процент роста населения за два года.

а)

Пусть $x$ — искомый процент роста числа жителей за первый год. Тогда, согласно условию, процент роста за второй год составляет $(x + 1)$.

Пусть $P_0$ — первоначальное число жителей в городе N.
После первого года число жителей станет равным:
$P_1 = P_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})$
После второго года число жителей станет равным:
$P_2 = P_1 \cdot (1 + \frac{x+1}{100}) = P_0 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+1}{100})$

Общий процент роста населения за два года ($G$) вычисляется по формуле:
$G = (\frac{P_2 - P_0}{P_0}) \cdot 100 = (\frac{P_2}{P_0} - 1) \cdot 100$
Подставим выражение для $P_2$:
$G = \left( (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+1}{100}) - 1 \right) \cdot 100$
Раскроем скобки:
$G = \left( 1 + \frac{x+1}{100} + \frac{x}{100} + \frac{x(x+1)}{100 \cdot 100} - 1 \right) \cdot 100$
$G = \left( \frac{2x+1}{100} + \frac{x^2+x}{10000} \right) \cdot 100$
$G = \frac{2x+1}{100} \cdot 100 + \frac{x^2+x}{10000} \cdot 100$
$G = 2x+1 + \frac{x^2+x}{100} = 2x+1 + 0.01x^2 + 0.01x$
$G = 0.01x^2 + 2.01x + 1$

По условию, процент роста за первый год ($x$) на 5,2 меньше, чем общий процент роста за два года ($G$). Составим уравнение:
$x = G - 5.2$
$x = (0.01x^2 + 2.01x + 1) - 5.2$
$x = 0.01x^2 + 2.01x - 4.2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$0.01x^2 + 1.01x - 4.2 = 0$
Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x^2 + 101x - 420 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 101^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 10201 + 1680 = 11881$
$\sqrt{D} = \sqrt{11881} = 109$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-101 + 109}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-101 - 109}{2} = \frac{-210}{2} = -105$

Поскольку процент роста населения не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -105$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, процент роста за первый год равен 4.

Ответ: 4%.

б)

Пусть $y$ — искомый процент роста числа жителей за второй год. Тогда, согласно условию, процент роста за первый год составляет $(y - 1)$.

Пусть $P_0$ — первоначальное число жителей в городе N.
После первого года число жителей станет равным:
$P_1 = P_0 \cdot (1 + \frac{y-1}{100})$
После второго года число жителей станет равным:
$P_2 = P_1 \cdot (1 + \frac{y}{100}) = P_0 \cdot (1 + \frac{y-1}{100}) \cdot (1 + \frac{y}{100})$

Общий процент роста населения за два года ($G$) вычисляется аналогично пункту а):
$G = \left( (1 + \frac{y-1}{100}) \cdot (1 + \frac{y}{100}) - 1 \right) \cdot 100$
Раскроем скобки:
$G = \left( 1 + \frac{y}{100} + \frac{y-1}{100} + \frac{y(y-1)}{100 \cdot 100} - 1 \right) \cdot 100$
$G = \left( \frac{2y-1}{100} + \frac{y^2-y}{10000} \right) \cdot 100$
$G = 2y-1 + \frac{y^2-y}{100} = 2y-1 + 0.01y^2 - 0.01y$
$G = 0.01y^2 + 1.99y - 1$

По условию, процент роста за второй год ($y$) на 5,3 меньше, чем общий процент роста за два года ($G$). Составим уравнение:
$y = G - 5.3$
$y = (0.01y^2 + 1.99y - 1) - 5.3$
$y = 0.01y^2 + 1.99y - 6.3$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$0.01y^2 + 0.99y - 6.3 = 0$
Умножим обе части уравнения на 100:
$y^2 + 99y - 630 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 99^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-630) = 9801 + 2520 = 12321$
$\sqrt{D} = \sqrt{12321} = 111$
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-99 + 111}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$y_2 = \frac{-99 - 111}{2} = \frac{-210}{2} = -105$

Так как процент роста населения должен быть положительным, корень $y_2 = -105$ не является решением задачи. Следовательно, процент роста за второй год равен 6.

Ответ: 6%.