Номер 222, страница 388 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на проценты. Задания для повторения - номер 222, страница 388.

222 Два брата купили акции одного достоинства на сумму $ 3640. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму $ 3927. Первый брат продал 75% своих акций, а второй — 80% своих. При этом сумма, полученная от продажи акций вторым братом, превышает сумму от продажи акций первым братом на 140%. На сколько процентов возросла цена акции?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

$C_1$ и $C_2$ — начальные суммы, которые вложили в покупку акций первый и второй брат соответственно. По условию, $C_1 + C_2 = 3640$.

$S_1$ и $S_2$ — суммы, полученные от продажи акций первым и вторым братом. По условию, $S_1 + S_2 = 3927$.

$k$ — коэффициент, показывающий, во сколько раз выросла цена одной акции. Искомый процентный рост цены будет равен $(k - 1) \times 100\%$.

1. Нахождение сумм, полученных каждым братом от продажи акций

Из условия известно, что сумма, полученная от продажи акций вторым братом ($S_2$), превышает сумму от продажи акций первым братом ($S_1$) на 140%. Это можно выразить формулой:

$S_2 = S_1 + 1.4 \cdot S_1 = 2.4 \cdot S_1$

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} S_1 + S_2 = 3927 \\ S_2 = 2.4 \cdot S_1 \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $S_1$:

$S_1 + 2.4 \cdot S_1 = 3927$

$3.4 \cdot S_1 = 3927$

$S_1 = \frac{3927}{3.4} = 1155$ долларов.

Теперь найдем $S_2$, используя найденное значение $S_1$:

$S_2 = 2.4 \cdot 1155 = 2772$ доллара.

2. Установление связи между начальными вложениями и доходом от продажи

Первый брат продал 75% (то есть 0.75) своих акций и получил за них $S_1$. Это означает, что стоимость 75% его акций по новой, возросшей в $k$ раз цене, равна $S_1$. Если бы он продал все свои акции, он бы получил $\frac{S_1}{0.75}$. Эта сумма в $k$ раз больше его первоначального вложения $C_1$. Таким образом, $\frac{S_1}{0.75} = k \cdot C_1$, откуда получаем:

$S_1 = 0.75 \cdot k \cdot C_1$

Аналогично для второго брата, который продал 80% (0.8) своих акций:

$S_2 = 0.8 \cdot k \cdot C_2$

3. Расчет коэффициента роста цены акций

Выразим начальные вложения $C_1$ и $C_2$ из полученных выше уравнений:

$C_1 = \frac{S_1}{0.75 \cdot k} = \frac{1155}{0.75 \cdot k} = \frac{1540}{k}$

$C_2 = \frac{S_2}{0.8 \cdot k} = \frac{2772}{0.8 \cdot k} = \frac{3465}{k}$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для общей суммы начальных вложений $C_1 + C_2 = 3640$:

$\frac{1540}{k} + \frac{3465}{k} = 3640$

$\frac{1540 + 3465}{k} = 3640$

$\frac{5005}{k} = 3640$

Отсюда находим коэффициент роста цены $k$:

$k = \frac{5005}{3640}$

Для упрощения дроби разделим числитель и знаменатель на 455 (их наибольший общий делитель):

$k = \frac{11}{8} = 1.375$

4. Расчет процентного роста цены акций

Коэффициент $k = 1.375$ показывает, что новая цена составляет 137.5% от старой. Чтобы найти, на сколько процентов цена возросла, вычтем 100%:

Процентный рост $= (k - 1) \times 100\% = (1.375 - 1) \times 100\% = 0.375 \times 100\% = 37.5\%$

Ответ: цена акции возросла на 37.5%.