Номер 220, страница 388 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на проценты. Задания для повторения - номер 220, страница 388.

220 Завод изготовил две партии изделий, при этом затраты на изготовление первой партии оказались на 20%, а второй партии — на 25% больше, чем планировалось. Таким образом, общие затраты превысили планируемые на 23% и составили 246 000 р. Какие затраты планировались на изготовление каждой партии?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

1. Введение переменных

Пусть $x$ — планируемые затраты на изготовление первой партии изделий в рублях, а $y$ — планируемые затраты на изготовление второй партии изделий в рублях. Тогда общие планируемые затраты составляют $x + y$.

2. Описание фактических затрат

Согласно условию, фактические затраты на первую партию оказались на 20% больше планируемых, то есть составили $100\% + 20\% = 120\%$ от $x$. В виде десятичной дроби это $1.2x$.

Фактические затраты на вторую партию оказались на 25% больше планируемых, то есть составили $100\% + 25\% = 125\%$ от $y$. В виде десятичной дроби это $1.25y$.

Общие фактические затраты составили $246\,000$ рублей. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$1.2x + 1.25y = 246000$

3. Связь общих фактических и планируемых затрат

Также известно, что общие фактические затраты ($246\,000$ р.) превысили общие планируемые затраты ($x+y$) на 23%. Это означает, что фактические затраты составили $123\%$ от планируемых. Отсюда получаем второе уравнение:

$1.23(x + y) = 246000$

4. Решение системы уравнений

Сначала найдем общие планируемые затраты из второго уравнения:

$x + y = \frac{246000}{1.23}$

$x + y = 200000$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} 1.2x + 1.25y = 246000 \\ x + y = 200000 \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 200000 - y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$1.2(200000 - y) + 1.25y = 246000$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$240000 - 1.2y + 1.25y = 246000$

$0.05y = 246000 - 240000$

$0.05y = 6000$

$y = \frac{6000}{0.05} = 120000$

Итак, планируемые затраты на вторую партию составили $120\,000$ рублей.

Теперь найдем планируемые затраты на первую партию:

$x = 200000 - y = 200000 - 120000 = 80000$

Планируемые затраты на первую партию составили $80\,000$ рублей.

Проверка:

Фактические затраты на первую партию: $80000 \times 1.2 = 96000$ р.

Фактические затраты на вторую партию: $120000 \times 1.25 = 150000$ р.

Общие фактические затраты: $96000 + 150000 = 246000$ р. (Соответствует условию)

Общие планируемые затраты: $80000 + 120000 = 200000$ р.

Процент превышения: $\frac{246000 - 200000}{200000} \times 100\% = \frac{46000}{200000} \times 100\% = 0.23 \times 100\% = 23\%$ (Соответствует условию)

Ответ: Планируемые затраты на изготовление первой партии составляли $80\,000$ рублей, а на изготовление второй партии — $120\,000$ рублей.