Номер 214, страница 388 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задачи на проценты. Задания для повторения - номер 214, страница 388.

214 a) Сторону квадрата увеличили в 2 раза. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?

б) Ребро куба увеличили в 2 раза. На сколько процентов увеличился объём куба?

в) На сколько процентов уменьшится объём прямоугольного параллелепипеда, если все его рёбра уменьшить на 10%?

а) Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1 = a^2$. После увеличения стороны в 2 раза, новая сторона станет равна $2a$. Новая площадь $S_2$ будет равна $(2a)^2 = 4a^2$.
Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, воспользуемся формулой:$ \frac{\text{новая площадь} - \text{старая площадь}}{\text{старая площадь}} \times 100\% $.
Подставим наши значения:$ \frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{4a^2 - a^2}{a^2} \times 100\% = \frac{3a^2}{a^2} \times 100\% = 3 \times 100\% = 300\% $.
Ответ: площадь квадрата увеличилась на 300%.

б) Пусть первоначальное ребро куба равно $a$. Тогда его объём $V_1 = a^3$. После увеличения ребра в 2 раза, новое ребро станет равно $2a$. Новый объём $V_2$ будет равен $(2a)^3 = 8a^3$.
Чтобы найти, на сколько процентов увеличился объём, воспользуемся формулой:$ \frac{\text{новый объём} - \text{старый объём}}{\text{старый объём}} \times 100\% $.
Подставим наши значения:$ \frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100\% = \frac{8a^3 - a^3}{a^3} \times 100\% = \frac{7a^3}{a^3} \times 100\% = 7 \times 100\% = 700\% $.
Ответ: объём куба увеличился на 700%.

в) Пусть первоначальные рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Его первоначальный объём $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Уменьшение каждого ребра на 10% означает, что длина нового ребра составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной длины. То есть, каждое ребро нужно умножить на коэффициент $0.9$.
Новые длины рёбер: $a' = 0.9a$, $b' = 0.9b$, $c' = 0.9c$.
Новый объём $V_2 = a' \cdot b' \cdot c' = (0.9a) \cdot (0.9b) \cdot (0.9c) = 0.9^3 \cdot (abc) = 0.729 \cdot V_1$.
Новый объём составляет $0.729$ от первоначального, или $72.9\%$.
Уменьшение объёма в процентах равно $100\% - 72.9\% = 27.1\%$.
Или, используя формулу:$ \frac{V_1 - V_2}{V_1} \times 100\% = \frac{V_1 - 0.729V_1}{V_1} \times 100\% = \frac{0.271V_1}{V_1} \times 100\% = 27.1\% $.
Ответ: объём прямоугольного параллелепипеда уменьшится на 27.1%.