Номер 207, страница 387 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 207, страница 387.

207 a) $cos^2 6x - sin^2 3x - 1 = 0;$

б) $cos^2 4x + sin^2 2x - 1 = 0;$

в) $6 sin^2 x + cos 2x - 3 = 0;$

г) $cos 7x + 2 cos \frac{7x}{2} = \frac{1}{2};$

д) $sin^3 x - cos^3 x + sin x - cos x = 0.$

а) $cos^2 6x - sin^2 3x - 1 = 0$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$. Применим ее для $sin^2 3x$:
$sin^2 3x = \frac{1 - cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - cos(6x)}{2}$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$cos^2 6x - \frac{1 - cos(6x)}{2} - 1 = 0$
Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $y = cos(6x)$. Тогда уравнение примет вид:
$y^2 - \frac{1 - y}{2} - 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2y^2 - (1 - y) - 2 = 0$
$2y^2 - 1 + y - 2 = 0$
$2y^2 + y - 3 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = 1$
$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, решив два уравнения:
1) $cos(6x) = 1$
Это частный случай. Решение:
$6x = 2\pi k, \text{ где } k \in Z$
$x = \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi k}{3}, k \in Z$
2) $cos(6x) = -\frac{3}{2}$
Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть меньше -1.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

б) $cos^2 4x + sin^2 2x - 1 = 0$
Используем формулу понижения степени $sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$ для $sin^2 2x$:
$sin^2 2x = \frac{1 - cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 - cos(4x)}{2}$
Подставим в исходное уравнение:
$cos^2 4x + \frac{1 - cos(4x)}{2} - 1 = 0$
Введем замену $y = cos(4x)$:
$y^2 + \frac{1 - y}{2} - 1 = 0$
Умножим на 2:
$2y^2 + 1 - y - 2 = 0$
$2y^2 - y - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$
$y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Вернемся к замене $y = cos(4x)$:
1) $cos(4x) = 1$
$4x = 2\pi k, k \in Z$
$x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$
2) $cos(4x) = -\frac{1}{2}$
$4x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in Z$
$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$
$x = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$; $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

в) $6 sin^2 x + cos 2x - 3 = 0$
Приведем все функции к одному аргументу $x$. Для этого используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2 x$.
Подставим это выражение в уравнение:
$6 sin^2 x + (1 - 2sin^2 x) - 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4 sin^2 x - 2 = 0$
$4 sin^2 x = 2$
$sin^2 x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это соответствует углам, у которых концы радиус-векторов лежат в серединах координатных четвертей. Объединенное решение для этих серий корней можно записать одной формулой:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

г) $cos 7x + 2 cos \frac{7x}{2} = \frac{1}{2}$
Заметим, что аргумент $7x$ в два раза больше аргумента $\frac{7x}{2}$. Применим формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$, где $\alpha = \frac{7x}{2}$.
$(2cos^2 \frac{7x}{2} - 1) + 2 cos \frac{7x}{2} = \frac{1}{2}$
Сделаем замену $y = cos \frac{7x}{2}$:
$2y^2 - 1 + 2y = \frac{1}{2}$
$2y^2 + 2y - \frac{3}{2} = 0$
Умножим уравнение на 2:
$4y^2 + 4y - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$
Вернемся к замене $y = cos \frac{7x}{2}$:
1) $cos \frac{7x}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{7x}{2} = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in Z$
$\frac{7x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$
$x = \frac{2}{7} (\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \pm \frac{2\pi}{21} + \frac{4\pi k}{7}, k \in Z$
2) $cos \frac{7x}{2} = -\frac{3}{2}$
Уравнение не имеет решений, так как область значений косинуса $[-1, 1]$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{21} + \frac{4\pi k}{7}, k \in Z$.

д) $sin^3 x - cos^3 x + sin x - cos x = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(sin^3 x - cos^3 x) + (sin x - cos x) = 0$
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ к первой скобке:
$(sin x - cos x)(sin^2 x + sin x cos x + cos^2 x) + (sin x - cos x) = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$:
$(sin x - cos x)(1 + sin x cos x) + (sin x - cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(sin x - cos x)$ за скобки:
$(sin x - cos x)((1 + sin x cos x) + 1) = 0$
$(sin x - cos x)(2 + sin x cos x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $sin x - cos x = 0 \implies sin x = cos x$
Разделим обе части на $cos x$. Это возможно, так как если $cos x = 0$, то $sin x = \pm 1$, и равенство не выполняется.
$tan x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$
2) $2 + sin x cos x = 0 \implies sin x cos x = -2$
Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin x cos x$, откуда $sin x cos x = \frac{1}{2} sin(2x)$.
$\frac{1}{2} sin(2x) = -2 \implies sin(2x) = -4$
Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.
Таким образом, единственной серией решений является результат первого случая.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.