Номер 203, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 203, страница 386.
№203 (с. 386)
Условие. №203 (с. 386)
скриншот условия

203 a) $ \cos 3x + \sin x \sin 2x = 0; $
б) $ \cos 5x + \sin x \sin 4x = 0. $
Решение 1. №203 (с. 386)


Решение 2. №203 (с. 386)

Решение 3. №203 (с. 386)


Решение 5. №203 (с. 386)
a) $\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$
Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
Представим аргумент $3x$ в виде суммы $2x + x$. Тогда $\cos 3x$ можно записать как:
$\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x) + \sin x \sin 2x = 0$
Упростим полученное выражение. Члены $-\sin 2x \sin x$ и $+\sin x \sin 2x$ взаимно уничтожаются:
$\cos 2x \cos x = 0$
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:
1) $\cos 2x = 0$
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Его корни находятся по формуле:
$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$
2) $\cos x = 0$
Корни этого уравнения находятся по формуле:
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$
Объединив решения обоих случаев, мы получаем полный набор корней исходного уравнения.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos 5x + \sin x \sin 4x = 0$
Это уравнение решается аналогично предыдущему. Снова используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
Представим аргумент $5x$ как сумму $4x + x$. Тогда $\cos 5x$ можно записать как:
$\cos 5x = \cos(4x + x) = \cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x) + \sin x \sin 4x = 0$
Упростим выражение. Члены $-\sin 4x \sin x$ и $+\sin x \sin 4x$ взаимно уничтожаются:
$\cos 4x \cos x = 0$
Это уравнение распадается на два более простых:
1) $\cos 4x = 0$
Находим корни:
$4x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$
Делим на 4:
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$
2) $\cos x = 0$
Находим корни:
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$
Решением исходного уравнения является объединение этих двух серий корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 203 расположенного на странице 386 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №203 (с. 386), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.