Номер 203, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Решение уравнений - номер 203, страница 386.

Условие.

203 a) $ \cos 3x + \sin x \sin 2x = 0; $

б) $ \cos 5x + \sin x \sin 4x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

a) $\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Представим аргумент $3x$ в виде суммы $2x + x$. Тогда $\cos 3x$ можно записать как:

$\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x) + \sin x \sin 2x = 0$

Упростим полученное выражение. Члены $-\sin 2x \sin x$ и $+\sin x \sin 2x$ взаимно уничтожаются:

$\cos 2x \cos x = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:

1) $\cos 2x = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Его корни находятся по формуле:

$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = 0$

Корни этого уравнения находятся по формуле:

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединив решения обоих случаев, мы получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 5x + \sin x \sin 4x = 0$

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Снова используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Представим аргумент $5x$ как сумму $4x + x$. Тогда $\cos 5x$ можно записать как:

$\cos 5x = \cos(4x + x) = \cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x) + \sin x \sin 4x = 0$

Упростим выражение. Члены $-\sin 4x \sin x$ и $+\sin x \sin 4x$ взаимно уничтожаются:

$\cos 4x \cos x = 0$

Это уравнение распадается на два более простых:

1) $\cos 4x = 0$

Находим корни:

$4x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Делим на 4:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = 0$

Находим корни:

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$

Решением исходного уравнения является объединение этих двух серий корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.