Номер 199, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 199, страница 386.

Решите уравнение (199-207):

199 а) $1 - 4 \sin^2 \left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = 0;$

б) $3 - 4 \sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = 0;$

в) $3 - 4 \cos^2 \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0;$

г) $1 - 2 \cos^2 \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 0.$

а) Исходное уравнение: $1 - 4 \sin^2(5x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
Перенесем 1 в правую часть и умножим на -1: $4 \sin^2(5x - \frac{\pi}{3}) = 1$.
Разделим обе части на 4: $\sin^2(5x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей: $\sin(5x - \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{1}{2}$.
Это равносильно совокупности двух уравнений:
1) $\sin(5x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
$5x = \frac{\pi}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{15} + (-1)^k \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}$
2) $\sin(5x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$
$5x = \frac{\pi}{3} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{15} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}$
Эти две серии решений можно объединить. Условие $\sin(\alpha) = \pm\frac{1}{2}$ означает, что $\alpha = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Тогда $5x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$.
Рассмотрим два случая:
1) $5x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies 5x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$.
2) $5x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi k \implies 5x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $3 - 4 \sin^2(3x + \frac{\pi}{3}) = 0$.
Преобразуем уравнение: $4 \sin^2(3x + \frac{\pi}{3}) = 3$.
$\sin^2(3x + \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{4}$.
Извлечем квадратный корень: $\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это условие выполняется, если аргумент синуса равен $\pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$3x + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k$.
Рассмотрим два случая:
1) $3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi k \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$.
2) $3x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi k \implies 3x = -\frac{2\pi}{3} + \pi k \implies x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $3 - 4 \cos^2(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
Преобразуем уравнение: $4 \cos^2(2x - \frac{\pi}{3}) = 3$.
$\cos^2(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{4}$.
Извлечем квадратный корень: $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это условие выполняется, если аргумент косинуса равен $\pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$2x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$.
Рассмотрим два случая:
1) $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies 2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
2) $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi k \implies 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $1 - 2 \cos^2(4x - \frac{\pi}{4}) = 0$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.
Тогда $1 - 2\cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha)$.
Пусть $\alpha = 4x - \frac{\pi}{4}$. Уравнение принимает вид:
$-\cos\left(2\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = 0$.
$\cos\left(8x - \frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Используем формулу приведения $\cos(\beta - \frac{\pi}{2}) = \sin(\beta)$:
$\sin(8x) = 0$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого:
$8x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.