Номер 192, страница 385 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 192, страница 385.

192 Вычислите:

a) $ \sin 2\alpha $ и $ \cos \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = -\frac{3}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

б) $ \cos 2\alpha $ и $ \sin \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = \frac{5}{13} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

в) $ \sin \alpha $ и $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = -\frac{3}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi $;

г) $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = -\frac{3}{5} $ и $ 1,5\pi < \alpha < 2\pi $;

д) $ \sin \alpha $, если $ \operatorname{tg} 2\alpha = -\frac{4}{3} $ и $ 0 < \alpha < 0,5\pi $;

е) $ \cos \alpha $, если $ \operatorname{ctg} 2\alpha = -2,4 $ и $ 0 < \alpha < 0,5\pi $.

а)

Дано: $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1. Найдем $\sin\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), то $\sin\alpha > 0$.
Следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Вычислим $\sin(2\alpha)$ по формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25}$.

3. Вычислим $\cos(\frac{\alpha}{2})$ по формуле косинуса половинного угла: $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.
$\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5}$.
Определим знак $\cos(\frac{\alpha}{2})$. Так как $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, то, разделив неравенство на 2, получим $\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$. Это первая четверть, где косинус положителен.
Следовательно, $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = -\frac{24}{25}$, $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

б)

Дано: $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

1. Вычислим $\cos(2\alpha)$ по формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
$\cos(2\alpha) = 1 - 2(\frac{5}{13})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{25}{169} = 1 - \frac{50}{169} = \frac{119}{169}$.

2. Для вычисления $\sin(\frac{\alpha}{2})$ нам понадобится $\cos\alpha$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.
Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), то $\cos\alpha > 0$.
Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

3. Вычислим $\sin(\frac{\alpha}{2})$ по формуле синуса половинного угла: $\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$.
$\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \frac{12}{13}}{2} = \frac{\frac{1}{13}}{2} = \frac{1}{26}$.
Определим знак $\sin(\frac{\alpha}{2})$. Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. Это первая четверть, где синус положителен.
Следовательно, $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

Ответ: $\cos(2\alpha) = \frac{119}{169}$, $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

в)

Дано: $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1. Найдем $\sin\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), то $\sin\alpha < 0$.
Следовательно, $\sin\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

2. Вычислим $\tan(\frac{\alpha}{2})$ по формуле тангенса половинного угла: $\tan^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$.
$\tan^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{1+\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{2}{5}} = 4$.
Определим знак $\tan(\frac{\alpha}{2})$. Так как $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Это вторая четверть, где тангенс отрицателен.
Следовательно, $\tan(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{4} = -2$.

Ответ: $\sin\alpha = -\frac{4}{5}$, $\tan(\frac{\alpha}{2}) = -2$.

г)

Дано: $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$ и $1.5\pi < \alpha < 2\pi$.

1. Найдем $\cos\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как угол $\alpha$ находится в четвертой четверти ($1.5\pi < \alpha < 2\pi$), то $\cos\alpha > 0$.
Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Вычислим $\tan(\frac{\alpha}{2})$ по формуле тангенса половинного угла: $\tan^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$.
$\tan^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \frac{4}{5}}{1 + \frac{4}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{9}{5}} = \frac{1}{9}$.
Определим знак $\tan(\frac{\alpha}{2})$. Так как $1.5\pi < \alpha < 2\pi$ (или $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), то $\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Это вторая четверть, где тангенс отрицателен.
Следовательно, $\tan(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, $\tan(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{1}{3}$.

д)

Дано: $\tan(2\alpha) = -\frac{4}{3}$ и $0 < \alpha < 0.5\pi$.

1. Определим четверть для угла $2\alpha$. Из условия $0 < \alpha < 0.5\pi$ (т.е. $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) следует, что $0 < 2\alpha < \pi$.
Поскольку $\tan(2\alpha) = -\frac{4}{3} < 0$, угол $2\alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.

2. Найдем $\cos(2\alpha)$ через тангенс, используя тождество $1 + \tan^2(2\alpha) = \frac{1}{\cos^2(2\alpha)}$.
$\frac{1}{\cos^2(2\alpha)} = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
$\cos^2(2\alpha) = \frac{9}{25}$. Так как $2\alpha$ во второй четверти, $\cos(2\alpha) = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

3. Вычислим $\sin\alpha$ через $\cos(2\alpha)$, используя формулу $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
$2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha) = 1 - (-\frac{3}{5}) = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
$\sin^2\alpha = \frac{4}{5}$.
Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть), то $\sin\alpha > 0$.
Следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

е)

Дано: $\cot(2\alpha) = -2.4 = -\frac{12}{5}$ и $0 < \alpha < 0.5\pi$.

1. Определим четверть для угла $2\alpha$. Из условия $0 < \alpha < 0.5\pi$ (т.е. $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) следует, что $0 < 2\alpha < \pi$.
Поскольку $\cot(2\alpha) = -2.4 < 0$, угол $2\alpha$ находится во второй четверти.

2. Найдем $\cos(2\alpha)$ через котангенс. Воспользуемся тождеством $\cot(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$ и $\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) = 1$.
Из $\cot(2\alpha) = -\frac{12}{5}$, можно представить, что $\cos(2\alpha) = -12k$ и $\sin(2\alpha) = 5k$ для некоторого $k > 0$ (так как $2\alpha$ во второй четверти, синус положителен, а косинус отрицателен).
Подставим в основное тождество: $(-12k)^2 + (5k)^2 = 1$.
$144k^2 + 25k^2 = 1 \implies 169k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{169} \implies k = \frac{1}{13}$.
Тогда $\cos(2\alpha) = -12k = -\frac{12}{13}$.

3. Вычислим $\cos\alpha$ через $\cos(2\alpha)$, используя формулу $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
$2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha) = 1 + (-\frac{12}{13}) = \frac{1}{13}$.
$\cos^2\alpha = \frac{1}{26}$.
Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть), то $\cos\alpha > 0$.
Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

Ответ: $\cos\alpha = \frac{\sqrt{26}}{26}$.