Номер 189, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 189, страница 384.

189 Найдите значение выражения:

а) $\frac{1 + \cos 2x - \sin 2x}{\cos x + \cos (0,5\pi + x)}$, если $\cos x = -0,5;$

б) $\frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{\cos x - \sin (2\pi - x)}$, если $\sin x = -0,5\sqrt{3}.$

а) Найти значение выражения $\frac{1 + \cos 2x - \sin 2x}{\cos x + \cos (0,5\pi + x)}$, если $\cos x = -0,5$.

Сначала упростим данное выражение. Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами:

• Формула косинуса двойного угла: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
• Формула синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
• Формула приведения: $\cos(0,5\pi + x) = \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$.

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель исходной дроби:

Числитель: $1 + \cos 2x - \sin 2x = (2\cos^2 x) - (2\sin x \cos x) = 2\cos x(\cos x - \sin x)$.

Знаменатель: $\cos x + \cos(0,5\pi + x) = \cos x - \sin x$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{2\cos x(\cos x - \sin x)}{\cos x - \sin x}$

Мы можем сократить дробь на $(\cos x - \sin x)$, если этот множитель не равен нулю. Проверим это условие. Нам дано, что $\cos x = -0,5$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, найдем $\sin x$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (-0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.

$\sin x = \pm\sqrt{0,75} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\cos x = -0,5$, а $\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos x \neq \sin x$, и, следовательно, $\cos x - \sin x \neq 0$. Значит, мы можем выполнить сокращение.

После сокращения выражение упрощается до $2\cos x$.

Теперь подставим известное значение $\cos x = -0,5$ в упрощенное выражение:

$2 \cdot (-0,5) = -1$.

Ответ: -1.

б) Найти значение выражения $\frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{\cos x - \sin (2\pi - x)}$, если $\sin x = -0,5\sqrt{3}$.

Сначала упростим данное выражение. Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами:

• Формула косинуса двойного угла: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.
• Формула синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
• Формула приведения: $\sin(2\pi - x) = -\sin x$.

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель исходной дроби:

Числитель: $1 - \cos 2x + \sin 2x = (2\sin^2 x) + (2\sin x \cos x) = 2\sin x(\sin x + \cos x)$.

Знаменатель: $\cos x - \sin(2\pi - x) = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{\cos x + \sin x}$

Мы можем сократить дробь на $(\cos x + \sin x)$, если этот множитель не равен нулю. Проверим это условие. Нам дано, что $\sin x = -0,5\sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, найдем $\cos x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

$\cos x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Поскольку $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\cos x = \pm\frac{1}{2}$, то $\cos x \neq -\sin x$, и, следовательно, $\cos x + \sin x \neq 0$. Значит, мы можем выполнить сокращение.

После сокращения выражение упрощается до $2\sin x$.

Теперь подставим известное значение $\sin x = -0,5\sqrt{3}$ в упрощенное выражение:

$2 \cdot (-0,5\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.