Номер 191, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 191, страница 384.

191 Найдите значение выражения:

a) $2 \cot\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) + \frac{2 \sin(\pi - \alpha)}{\sin(0.5\pi + \alpha) + \tan \alpha \sin(-\alpha)}$, если $\alpha = -\frac{\pi}{12}$;

б) $\cos(-2\alpha) + \frac{2 \sin(\pi - 2\alpha)}{\cot(0.5\pi + \alpha) + \cot \alpha}$, если $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

а)

Сначала упростим данное выражение, используя тригонометрические формулы приведения и тождества. Исходное выражение:

$2 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)+\frac{2 \sin (\pi-\alpha)}{\sin (0,5 \pi+\alpha)+\operatorname{tg} \alpha \sin (-\alpha)}$

1. Упростим первое слагаемое, используя формулу приведения $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \operatorname{tg}(x)$:

$2 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right) = 2 \operatorname{tg}(2 \alpha)$

2. Упростим числитель дроби, используя формулу приведения $\sin(\pi-x) = \sin(x)$:

$2 \sin (\pi-\alpha) = 2 \sin(\alpha)$

3. Упростим знаменатель дроби. Заметим, что $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$. Используем формулы приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos(x)$ и нечетность синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$\sin (0,5 \pi+\alpha)+\operatorname{tg} \alpha \sin (-\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) - \operatorname{tg} \alpha \sin \alpha = \cos\alpha - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha$

Приведем к общему знаменателю:

$\cos\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos\alpha}$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$, получаем:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}$

4. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{2 \sin(\alpha)}{\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos(2\alpha)}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получаем:

$\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \operatorname{tg}(2\alpha)$

5. Соберем все выражение вместе:

$2 \operatorname{tg}(2 \alpha) + \operatorname{tg}(2 \alpha) = 3 \operatorname{tg}(2 \alpha)$

Теперь подставим значение $\alpha = -\frac{\pi}{12}$ в упрощенное выражение:

$3 \operatorname{tg}\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) = 3 \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Используя нечетность тангенса $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ и зная, что $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$3 \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -3 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

б)

Упростим данное выражение, используя тригонометрические формулы. Исходное выражение:

$\cos (-2 \alpha)+\frac{2 \sin (\pi-2 \alpha)}{\operatorname{ctg}(0,5 \pi+\alpha)+\operatorname{ctg} \alpha}$

1. Упростим первое слагаемое, используя четность косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$:

$\cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha)$

2. Упростим числитель дроби, используя формулу приведения $\sin(\pi-x) = \sin(x)$:

$2 \sin (\pi-2 \alpha) = 2 \sin(2\alpha)$

3. Упростим знаменатель дроби. Заметим, что $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$. Используем формулу приведения $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -\operatorname{tg}(x)$:

$\operatorname{ctg}(0,5 \pi+\alpha)+\operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\operatorname{ctg} \alpha = -\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha$

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя формулы двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$ и $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получаем:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$

4. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{2 \sin(2\alpha)}{2\operatorname{ctg}(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)}{\operatorname{ctg}(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)}{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}} = \frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

5. Соберем все выражение вместе:

$\cos(2\alpha) + \frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{\cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$\frac{1}{\cos(2\alpha)}$

Теперь подставим значение $\alpha = \frac{\pi}{8}$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}$

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$