Номер 185, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 185, страница 384.

185 Вычислите:

а) $\sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$, если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$, если $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

a) Требуется вычислить значение выражения $sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$ при заданных условиях $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Способ 1: Нахождение угла $\alpha$

Условие $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ означает, что угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти. В этой четверти синус является возрастающей функцией, и каждому его значению соответствует единственный угол. Для значения $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в первой четверти есть только один соответствующий угол: $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим найденное значение $\alpha$ в исходное выражение:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3})$

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = sin(\frac{3\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{2})$

Значение синуса от $\frac{\pi}{2}$ является табличным и равно 1.

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Способ 2: Использование формулы синуса суммы

Формула синуса суммы углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Применим ее к нашему выражению:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{6})sin(\alpha)$

Нам известны $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Необходимо найти $cos(\alpha)$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), его косинус положителен. Следовательно, $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ: 1

б) Требуется вычислить значение выражения $cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ при заданных условиях $sin \alpha = \frac{1}{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Способ 1: Нахождение угла $\alpha$

Из условия $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть) и $sin \alpha = \frac{1}{2}$ однозначно следует, что $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})$

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$cos(\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{6})$

Значение косинуса от $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Использование формулы косинуса разности

Формула косинуса разности углов: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$.

Применим ее к нашему выражению:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)$

Нам известны $sin \alpha = \frac{1}{2}$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем $cos(\alpha)$.

Из тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ получаем:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, значение $cos(\alpha)$ положительно. Значит, $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$