Номер 190, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 190, страница 384.

190 Докажите справедливость равенства:

a) $\frac{\cos 2\alpha}{1 - \sin 2\alpha} = \frac{\cos (2\pi - \alpha) - \sin (-\alpha)}{\sin (0,5\pi - \alpha) + \sin (\pi + \alpha)};$

б) $ \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos (0,5\pi - \alpha) - \cos (\pi - \alpha)}{\cos (-\alpha) + \sin (2\pi - \alpha)}.$

а)

Для доказательства равенства $ \frac{\cos 2\alpha}{1 - \sin 2\alpha} = \frac{\cos (2\pi - \alpha) - \sin (-\alpha)}{\sin (0,5\pi - \alpha) + \sin (\pi + \alpha)} $ преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество:

$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $

$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

$ 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $

Левая часть:

$ \frac{\cos 2\alpha}{1 - \sin 2\alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha} $

В числителе находится разность квадратов, а в знаменателе — полный квадрат разности:

$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2} $

Сократив дробь на $ (\cos \alpha - \sin \alpha) $, получим:

$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

Теперь преобразуем правую часть, используя формулы приведения:

$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha $

$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $

$ \sin(0,5\pi - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha $

$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $

Правая часть:

$ \frac{\cos (2\pi - \alpha) - \sin (-\alpha)}{\sin (0,5\pi - \alpha) + \sin (\pi + \alpha)} = \frac{\cos \alpha - (-\sin \alpha)}{\cos \alpha + (-\sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

Поскольку преобразованные левая и правая части равны, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos (0,5\pi - \alpha) - \cos (\pi - \alpha)}{\cos (-\alpha) + \sin (2\pi - \alpha)} $ также преобразуем обе его части.

Преобразуем левую часть:

$ \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} $

В числителе находится полный квадрат суммы, а в знаменателе — разность квадратов:

$ \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} $

Сократив дробь на $ (\cos \alpha + \sin \alpha) $, получим:

$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

Теперь преобразуем правую часть, используя формулы приведения:

$ \cos(0,5\pi - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha $

$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $

$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $

$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha $

Правая часть:

$ \frac{\cos (0,5\pi - \alpha) - \cos (\pi - \alpha)}{\cos (-\alpha) + \sin (2\pi - \alpha)} = \frac{\sin \alpha - (-\cos \alpha)}{\cos \alpha + (-\sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

Мы видим, что левая и правая части приводятся к одному и тому же выражению $ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.