Страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

185 Вычислите:

а) $\sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$, если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$, если $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

a) Требуется вычислить значение выражения $sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$ при заданных условиях $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Способ 1: Нахождение угла $\alpha$

Условие $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ означает, что угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти. В этой четверти синус является возрастающей функцией, и каждому его значению соответствует единственный угол. Для значения $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в первой четверти есть только один соответствующий угол: $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим найденное значение $\alpha$ в исходное выражение:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3})$

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = sin(\frac{3\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{2})$

Значение синуса от $\frac{\pi}{2}$ является табличным и равно 1.

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Способ 2: Использование формулы синуса суммы

Формула синуса суммы углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Применим ее к нашему выражению:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{6})sin(\alpha)$

Нам известны $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Необходимо найти $cos(\alpha)$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), его косинус положителен. Следовательно, $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ: 1

б) Требуется вычислить значение выражения $cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ при заданных условиях $sin \alpha = \frac{1}{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Способ 1: Нахождение угла $\alpha$

Из условия $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть) и $sin \alpha = \frac{1}{2}$ однозначно следует, что $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})$

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$cos(\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{6})$

Значение косинуса от $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Использование формулы косинуса разности

Формула косинуса разности углов: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$.

Применим ее к нашему выражению:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)$

Нам известны $sin \alpha = \frac{1}{2}$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем $cos(\alpha)$.

Из тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ получаем:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, значение $cos(\alpha)$ положительно. Значит, $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростите выражение (186–188):

186 a) $tg (\alpha - \pi) - \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right)}{1 + \cos (-\alpha)}$

б) $tg (\alpha + \pi) - \frac{\sin \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right)}{1 - \sin (-\alpha)}$

a) Упростим выражение $tg(α - π) - \frac{cos(\frac{π}{2} + α)}{1 + cos(-α)}$ по частям.

1. Используем свойство периодичности тангенса. Период функции $tg(x)$ равен $π$, поэтому $tg(α - π) = tg(α)$.

2. Применим формулу приведения для $cos(\frac{π}{2} + α)$. Угол $(\frac{π}{2} + α)$ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. При наличии $\frac{π}{2}$ функция меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $cos(\frac{π}{2} + α) = -sin(α)$.

3. Используем свойство четности косинуса: $cos(-α) = cos(α)$.

4. Подставим полученные выражения в исходное:

$tg(α - π) - \frac{cos(\frac{π}{2} + α)}{1 + cos(-α)} = tg(α) - \frac{-sin(α)}{1 + cos(α)} = tg(α) + \frac{sin(α)}{1 + cos(α)}$

5. Заменим $tg(α)$ на $\frac{sin(α)}{cos(α)}$ и приведем слагаемые к общему знаменателю $cos(α)(1 + cos(α))$:

$\frac{sin(α)}{cos(α)} + \frac{sin(α)}{1 + cos(α)} = \frac{sin(α)(1 + cos(α)) + sin(α)cos(α)}{cos(α)(1 + cos(α))}$

6. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{sin(α) + sin(α)cos(α) + sin(α)cos(α)}{cos(α)(1 + cos(α))} = \frac{sin(α) + 2sin(α)cos(α)}{cos(α)(1 + cos(α))}$

7. Вынесем в числителе общий множитель $sin(α)$:

$\frac{sin(α)(1 + 2cos(α))}{cos(α)(1 + cos(α))}$

Дальнейшее упрощение без дополнительных условий невозможно.

Ответ: $\frac{sin(α)(1 + 2cos(α))}{cos(α)(1 + cos(α))}$

б) Упростим выражение $tg(α + π) - \frac{sin(\frac{3π}{2} + α)}{1 - sin(-α)}$ по частям.

1. Используем свойство периодичности тангенса: $tg(α + π) = tg(α)$.

2. Применим формулу приведения для $sin(\frac{3π}{2} + α)$. Угол $(\frac{3π}{2} + α)$ находится в четвертой координатной четверти, где синус отрицателен. При наличии $\frac{3π}{2}$ функция меняется на кофункцию (синус на косинус). Таким образом, $sin(\frac{3π}{2} + α) = -cos(α)$.

3. Используем свойство нечетности синуса: $sin(-α) = -sin(α)$.

4. Подставим полученные выражения в исходное:

$tg(α + π) - \frac{sin(\frac{3π}{2} + α)}{1 - sin(-α)} = tg(α) - \frac{-cos(α)}{1 - (-sin(α))} = tg(α) + \frac{cos(α)}{1 + sin(α)}$

5. Заменим $tg(α)$ на $\frac{sin(α)}{cos(α)}$ и приведем слагаемые к общему знаменателю $cos(α)(1 + sin(α))$:

$\frac{sin(α)}{cos(α)} + \frac{cos(α)}{1 + sin(α)} = \frac{sin(α)(1 + sin(α)) + cos(α) \cdot cos(α)}{cos(α)(1 + sin(α))}$

6. Раскроем скобки в числителе и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$:

$\frac{sin(α) + sin^2(α) + cos^2(α)}{cos(α)(1 + sin(α))} = \frac{sin(α) + 1}{cos(α)(1 + sin(α))}$

7. Сократим дробь на общий множитель $(1 + sin(α))$, который не равен нулю согласно области определения исходного выражения:

$\frac{1}{cos(α)}$

Ответ: $\frac{1}{cos(α)}$

187 а) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$;

б) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$;

в) $\cos 2\alpha : (\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha)$;

г) $(\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha) \sin 2\alpha$.

а) Упростим выражение $ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} $.
Воспользуемся формулами двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и формулой косинуса двойного угла в виде $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $. Последняя удобна, так как в знаменателе есть единица.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + (2 \cos^2 \alpha - 1)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + 2 \cos^2 \alpha - 1} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha} $
Сократим дробь на $ 2 \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha $
Ответ: $ \text{tg } \alpha $

б) Упростим выражение $ \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $.
Воспользуемся формулами двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и на этот раз используем другую формулу для косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $. Это позволит избавиться от единицы в числителе.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$ \frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1 - 1 + 2 \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} $
Сократим дробь на $ 2 \sin \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $):
$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha $
Ответ: $ \text{tg } \alpha $

в) Упростим выражение $ \cos 2\alpha : (\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha) $.
Это выражение можно записать в виде дроби $ \frac{\cos 2\alpha}{\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha} $.
Сначала преобразуем выражение в знаменателе. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $
В числителе получившейся дроби находится формула косинуса двойного угла: $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha $.
Значит, $ \text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$ \frac{\cos 2\alpha}{\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} = \cos 2\alpha \cdot \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha} $
Сократим на $ \cos 2\alpha $ (при условии, что $ \cos 2\alpha \neq 0 $):
$ \sin \alpha \cos \alpha $
Полученное выражение можно также представить через синус двойного угла, используя формулу $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, откуда $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $.
Ответ: $ \frac{1}{2} \sin 2\alpha $

г) Упростим выражение $ (\text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha) \sin 2\alpha $.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $
В числителе получившейся дроби находится основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $.
Таким образом, $ \text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $.
Теперь умножим полученный результат на $ \sin 2\alpha $:
$ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \sin 2\alpha $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) $
Сократим дробь на $ \sin \alpha \cos \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $ и $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ 2 $
Ответ: $ 2 $

188 а) $\frac{2 \sin^2 \alpha}{1 + \cos (\pi - 2\alpha)} - \sin^2 \alpha$

б) $\frac{2 \cos^2 \alpha}{1 - \sin (1.5\pi + 2\alpha)} - \cos^2 \alpha$

в) $\frac{\sin (0.5\pi + 2\alpha)}{1 - \tan^2 \alpha} - \cos^2 \alpha$

г) $\frac{\cos (2\pi - 2\alpha)}{\cot^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha$

а) Упростим выражение $ \frac{2 \sin^2 \alpha}{1 + \cos(\pi - 2\alpha)} - \sin^2 \alpha $.

Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $ \cos(\pi - x) = -\cos x $.

$ 1 + \cos(\pi - 2\alpha) = 1 - \cos(2\alpha) $.

Далее применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha $.

$ 1 - \cos(2\alpha) = 1 - (1 - 2\sin^2 \alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$ \frac{2 \sin^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} = 1 $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $).

Исходное выражение принимает вид:

$ 1 - \sin^2 \alpha $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.

Ответ: $ \cos^2 \alpha $

б) Упростим выражение $ \frac{2 \cos^2 \alpha}{1 - \sin(1,5\pi + 2\alpha)} - \cos^2 \alpha $.

Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $ \sin(1,5\pi + x) = \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x $.

$ 1 - \sin(1,5\pi + 2\alpha) = 1 - (-\cos(2\alpha)) = 1 + \cos(2\alpha) $.

Далее применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 $.

$ 1 + \cos(2\alpha) = 1 + (2\cos^2 \alpha - 1) = 2\cos^2 \alpha $.

Подставим полученный знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{2 \cos^2 \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = 1 $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $).

Исходное выражение принимает вид:

$ 1 - \cos^2 \alpha $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.

Ответ: $ \sin^2 \alpha $

в) Упростим выражение $ \frac{\sin(0,5\pi + 2\alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha} - \cos^2 \alpha $.

Сначала преобразуем числитель, используя формулу приведения $ \sin(0,5\pi + x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x $.

$ \sin(0,5\pi + 2\alpha) = \cos(2\alpha) $.

Выражение принимает вид: $ \frac{\cos(2\alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha} - \cos^2 \alpha $.

Преобразуем знаменатель дроби: $ 1 - \text{tg}^2 \alpha = 1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

В числителе дроби используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.

Подставим преобразованные части в дробь:

$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha $.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 0 $.

Ответ: $ 0 $

г) Упростим выражение $ \frac{\cos(2\pi - 2\alpha)}{\text{ctg}^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha $.

Сначала преобразуем числитель, используя формулу приведения $ \cos(2\pi - x) = \cos x $.

$ \cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(2\alpha) $.

Выражение принимает вид: $ \frac{\cos(2\alpha)}{\text{ctg}^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha $.

Преобразуем знаменатель дроби: $ \text{ctg}^2 \alpha - 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - 1 = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

В числителе дроби используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.

Подставим преобразованные части в дробь:

$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \sin^2 \alpha $.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0 $.

Ответ: $ 0 $

189 Найдите значение выражения:

а) $\frac{1 + \cos 2x - \sin 2x}{\cos x + \cos (0,5\pi + x)}$, если $\cos x = -0,5;$

б) $\frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{\cos x - \sin (2\pi - x)}$, если $\sin x = -0,5\sqrt{3}.$

а) Найти значение выражения $\frac{1 + \cos 2x - \sin 2x}{\cos x + \cos (0,5\pi + x)}$, если $\cos x = -0,5$.

Сначала упростим данное выражение. Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами:

• Формула косинуса двойного угла: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
• Формула синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
• Формула приведения: $\cos(0,5\pi + x) = \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$.

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель исходной дроби:

Числитель: $1 + \cos 2x - \sin 2x = (2\cos^2 x) - (2\sin x \cos x) = 2\cos x(\cos x - \sin x)$.

Знаменатель: $\cos x + \cos(0,5\pi + x) = \cos x - \sin x$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{2\cos x(\cos x - \sin x)}{\cos x - \sin x}$

Мы можем сократить дробь на $(\cos x - \sin x)$, если этот множитель не равен нулю. Проверим это условие. Нам дано, что $\cos x = -0,5$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, найдем $\sin x$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (-0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.

$\sin x = \pm\sqrt{0,75} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\cos x = -0,5$, а $\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos x \neq \sin x$, и, следовательно, $\cos x - \sin x \neq 0$. Значит, мы можем выполнить сокращение.

После сокращения выражение упрощается до $2\cos x$.

Теперь подставим известное значение $\cos x = -0,5$ в упрощенное выражение:

$2 \cdot (-0,5) = -1$.

Ответ: -1.

б) Найти значение выражения $\frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{\cos x - \sin (2\pi - x)}$, если $\sin x = -0,5\sqrt{3}$.

Сначала упростим данное выражение. Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами:

• Формула косинуса двойного угла: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.
• Формула синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
• Формула приведения: $\sin(2\pi - x) = -\sin x$.

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель исходной дроби:

Числитель: $1 - \cos 2x + \sin 2x = (2\sin^2 x) + (2\sin x \cos x) = 2\sin x(\sin x + \cos x)$.

Знаменатель: $\cos x - \sin(2\pi - x) = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{\cos x + \sin x}$

Мы можем сократить дробь на $(\cos x + \sin x)$, если этот множитель не равен нулю. Проверим это условие. Нам дано, что $\sin x = -0,5\sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, найдем $\cos x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

$\cos x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Поскольку $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\cos x = \pm\frac{1}{2}$, то $\cos x \neq -\sin x$, и, следовательно, $\cos x + \sin x \neq 0$. Значит, мы можем выполнить сокращение.

После сокращения выражение упрощается до $2\sin x$.

Теперь подставим известное значение $\sin x = -0,5\sqrt{3}$ в упрощенное выражение:

$2 \cdot (-0,5\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

190 Докажите справедливость равенства:

a) $\frac{\cos 2\alpha}{1 - \sin 2\alpha} = \frac{\cos (2\pi - \alpha) - \sin (-\alpha)}{\sin (0,5\pi - \alpha) + \sin (\pi + \alpha)};$

б) $ \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos (0,5\pi - \alpha) - \cos (\pi - \alpha)}{\cos (-\alpha) + \sin (2\pi - \alpha)}.$

а)

Для доказательства равенства $ \frac{\cos 2\alpha}{1 - \sin 2\alpha} = \frac{\cos (2\pi - \alpha) - \sin (-\alpha)}{\sin (0,5\pi - \alpha) + \sin (\pi + \alpha)} $ преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество:

$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $

$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

$ 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $

Левая часть:

$ \frac{\cos 2\alpha}{1 - \sin 2\alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha} $

В числителе находится разность квадратов, а в знаменателе — полный квадрат разности:

$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2} $

Сократив дробь на $ (\cos \alpha - \sin \alpha) $, получим:

$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

Теперь преобразуем правую часть, используя формулы приведения:

$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha $

$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $

$ \sin(0,5\pi - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha $

$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $

Правая часть:

$ \frac{\cos (2\pi - \alpha) - \sin (-\alpha)}{\sin (0,5\pi - \alpha) + \sin (\pi + \alpha)} = \frac{\cos \alpha - (-\sin \alpha)}{\cos \alpha + (-\sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

Поскольку преобразованные левая и правая части равны, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos (0,5\pi - \alpha) - \cos (\pi - \alpha)}{\cos (-\alpha) + \sin (2\pi - \alpha)} $ также преобразуем обе его части.

Преобразуем левую часть:

$ \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} $

В числителе находится полный квадрат суммы, а в знаменателе — разность квадратов:

$ \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} $

Сократив дробь на $ (\cos \alpha + \sin \alpha) $, получим:

$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

Теперь преобразуем правую часть, используя формулы приведения:

$ \cos(0,5\pi - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha $

$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $

$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $

$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha $

Правая часть:

$ \frac{\cos (0,5\pi - \alpha) - \cos (\pi - \alpha)}{\cos (-\alpha) + \sin (2\pi - \alpha)} = \frac{\sin \alpha - (-\cos \alpha)}{\cos \alpha + (-\sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $

Мы видим, что левая и правая части приводятся к одному и тому же выражению $ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

191 Найдите значение выражения:

a) $2 \cot\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) + \frac{2 \sin(\pi - \alpha)}{\sin(0.5\pi + \alpha) + \tan \alpha \sin(-\alpha)}$, если $\alpha = -\frac{\pi}{12}$;

б) $\cos(-2\alpha) + \frac{2 \sin(\pi - 2\alpha)}{\cot(0.5\pi + \alpha) + \cot \alpha}$, если $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

а)

Сначала упростим данное выражение, используя тригонометрические формулы приведения и тождества. Исходное выражение:

$2 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)+\frac{2 \sin (\pi-\alpha)}{\sin (0,5 \pi+\alpha)+\operatorname{tg} \alpha \sin (-\alpha)}$

1. Упростим первое слагаемое, используя формулу приведения $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \operatorname{tg}(x)$:

$2 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right) = 2 \operatorname{tg}(2 \alpha)$

2. Упростим числитель дроби, используя формулу приведения $\sin(\pi-x) = \sin(x)$:

$2 \sin (\pi-\alpha) = 2 \sin(\alpha)$

3. Упростим знаменатель дроби. Заметим, что $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$. Используем формулы приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos(x)$ и нечетность синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$\sin (0,5 \pi+\alpha)+\operatorname{tg} \alpha \sin (-\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) - \operatorname{tg} \alpha \sin \alpha = \cos\alpha - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha$

Приведем к общему знаменателю:

$\cos\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos\alpha}$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$, получаем:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}$

4. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{2 \sin(\alpha)}{\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos(2\alpha)}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получаем:

$\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \operatorname{tg}(2\alpha)$

5. Соберем все выражение вместе:

$2 \operatorname{tg}(2 \alpha) + \operatorname{tg}(2 \alpha) = 3 \operatorname{tg}(2 \alpha)$

Теперь подставим значение $\alpha = -\frac{\pi}{12}$ в упрощенное выражение:

$3 \operatorname{tg}\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) = 3 \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Используя нечетность тангенса $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ и зная, что $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$3 \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -3 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

б)

Упростим данное выражение, используя тригонометрические формулы. Исходное выражение:

$\cos (-2 \alpha)+\frac{2 \sin (\pi-2 \alpha)}{\operatorname{ctg}(0,5 \pi+\alpha)+\operatorname{ctg} \alpha}$

1. Упростим первое слагаемое, используя четность косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$:

$\cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha)$

2. Упростим числитель дроби, используя формулу приведения $\sin(\pi-x) = \sin(x)$:

$2 \sin (\pi-2 \alpha) = 2 \sin(2\alpha)$

3. Упростим знаменатель дроби. Заметим, что $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$. Используем формулу приведения $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -\operatorname{tg}(x)$:

$\operatorname{ctg}(0,5 \pi+\alpha)+\operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\operatorname{ctg} \alpha = -\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha$

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя формулы двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$ и $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получаем:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$

4. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{2 \sin(2\alpha)}{2\operatorname{ctg}(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)}{\operatorname{ctg}(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)}{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}} = \frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

5. Соберем все выражение вместе:

$\cos(2\alpha) + \frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{\cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$\frac{1}{\cos(2\alpha)}$

Теперь подставим значение $\alpha = \frac{\pi}{8}$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}$

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$