Номер 188, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 188, страница 384.
№188 (с. 384)
Условие. №188 (с. 384)
скриншот условия

188 а) $\frac{2 \sin^2 \alpha}{1 + \cos (\pi - 2\alpha)} - \sin^2 \alpha$
б) $\frac{2 \cos^2 \alpha}{1 - \sin (1.5\pi + 2\alpha)} - \cos^2 \alpha$
в) $\frac{\sin (0.5\pi + 2\alpha)}{1 - \tan^2 \alpha} - \cos^2 \alpha$
г) $\frac{\cos (2\pi - 2\alpha)}{\cot^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha$
Решение 1. №188 (с. 384)




Решение 2. №188 (с. 384)

Решение 3. №188 (с. 384)

Решение 5. №188 (с. 384)
а) Упростим выражение $ \frac{2 \sin^2 \alpha}{1 + \cos(\pi - 2\alpha)} - \sin^2 \alpha $.
Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $ \cos(\pi - x) = -\cos x $.
$ 1 + \cos(\pi - 2\alpha) = 1 - \cos(2\alpha) $.
Далее применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha $.
$ 1 - \cos(2\alpha) = 1 - (1 - 2\sin^2 \alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha $.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$ \frac{2 \sin^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} = 1 $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $).
Исходное выражение принимает вид:
$ 1 - \sin^2 \alpha $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.
Ответ: $ \cos^2 \alpha $
б) Упростим выражение $ \frac{2 \cos^2 \alpha}{1 - \sin(1,5\pi + 2\alpha)} - \cos^2 \alpha $.
Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $ \sin(1,5\pi + x) = \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x $.
$ 1 - \sin(1,5\pi + 2\alpha) = 1 - (-\cos(2\alpha)) = 1 + \cos(2\alpha) $.
Далее применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 $.
$ 1 + \cos(2\alpha) = 1 + (2\cos^2 \alpha - 1) = 2\cos^2 \alpha $.
Подставим полученный знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{2 \cos^2 \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = 1 $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $).
Исходное выражение принимает вид:
$ 1 - \cos^2 \alpha $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.
Ответ: $ \sin^2 \alpha $
в) Упростим выражение $ \frac{\sin(0,5\pi + 2\alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha} - \cos^2 \alpha $.
Сначала преобразуем числитель, используя формулу приведения $ \sin(0,5\pi + x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x $.
$ \sin(0,5\pi + 2\alpha) = \cos(2\alpha) $.
Выражение принимает вид: $ \frac{\cos(2\alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha} - \cos^2 \alpha $.
Преобразуем знаменатель дроби: $ 1 - \text{tg}^2 \alpha = 1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.
В числителе дроби используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Подставим преобразованные части в дробь:
$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha $.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$ \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 0 $.
Ответ: $ 0 $
г) Упростим выражение $ \frac{\cos(2\pi - 2\alpha)}{\text{ctg}^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha $.
Сначала преобразуем числитель, используя формулу приведения $ \cos(2\pi - x) = \cos x $.
$ \cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(2\alpha) $.
Выражение принимает вид: $ \frac{\cos(2\alpha)}{\text{ctg}^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha $.
Преобразуем знаменатель дроби: $ \text{ctg}^2 \alpha - 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - 1 = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.
В числителе дроби используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Подставим преобразованные части в дробь:
$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \sin^2 \alpha $.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$ \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0 $.
Ответ: $ 0 $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 188 расположенного на странице 384 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №188 (с. 384), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.