Номер 188, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 188, страница 384.

Условие.

188 а) $\frac{2 \sin^2 \alpha}{1 + \cos (\pi - 2\alpha)} - \sin^2 \alpha$

б) $\frac{2 \cos^2 \alpha}{1 - \sin (1.5\pi + 2\alpha)} - \cos^2 \alpha$

в) $\frac{\sin (0.5\pi + 2\alpha)}{1 - \tan^2 \alpha} - \cos^2 \alpha$

г) $\frac{\cos (2\pi - 2\alpha)}{\cot^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Упростим выражение $ \frac{2 \sin^2 \alpha}{1 + \cos(\pi - 2\alpha)} - \sin^2 \alpha $.

Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $ \cos(\pi - x) = -\cos x $.

$ 1 + \cos(\pi - 2\alpha) = 1 - \cos(2\alpha) $.

Далее применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha $.

$ 1 - \cos(2\alpha) = 1 - (1 - 2\sin^2 \alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$ \frac{2 \sin^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} = 1 $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $).

Исходное выражение принимает вид:

$ 1 - \sin^2 \alpha $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.

Ответ: $ \cos^2 \alpha $

б) Упростим выражение $ \frac{2 \cos^2 \alpha}{1 - \sin(1,5\pi + 2\alpha)} - \cos^2 \alpha $.

Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $ \sin(1,5\pi + x) = \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x $.

$ 1 - \sin(1,5\pi + 2\alpha) = 1 - (-\cos(2\alpha)) = 1 + \cos(2\alpha) $.

Далее применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 $.

$ 1 + \cos(2\alpha) = 1 + (2\cos^2 \alpha - 1) = 2\cos^2 \alpha $.

Подставим полученный знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{2 \cos^2 \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = 1 $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $).

Исходное выражение принимает вид:

$ 1 - \cos^2 \alpha $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.

Ответ: $ \sin^2 \alpha $

в) Упростим выражение $ \frac{\sin(0,5\pi + 2\alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha} - \cos^2 \alpha $.

Сначала преобразуем числитель, используя формулу приведения $ \sin(0,5\pi + x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x $.

$ \sin(0,5\pi + 2\alpha) = \cos(2\alpha) $.

Выражение принимает вид: $ \frac{\cos(2\alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha} - \cos^2 \alpha $.

Преобразуем знаменатель дроби: $ 1 - \text{tg}^2 \alpha = 1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

В числителе дроби используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.

Подставим преобразованные части в дробь:

$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha $.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 0 $.

Ответ: $ 0 $

г) Упростим выражение $ \frac{\cos(2\pi - 2\alpha)}{\text{ctg}^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha $.

Сначала преобразуем числитель, используя формулу приведения $ \cos(2\pi - x) = \cos x $.

$ \cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(2\alpha) $.

Выражение принимает вид: $ \frac{\cos(2\alpha)}{\text{ctg}^2 \alpha - 1} - \sin^2 \alpha $.

Преобразуем знаменатель дроби: $ \text{ctg}^2 \alpha - 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - 1 = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

В числителе дроби используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.

Подставим преобразованные части в дробь:

$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \sin^2 \alpha $.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0 $.

Ответ: $ 0 $