Номер 182, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 182, страница 383.

Условие.

Найдите значения (182—183):

182 a) cos $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $0.5\pi < \alpha < \pi$;

б) sin $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{9}{41}$ и $\pi < \alpha < 1.5\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $0,5\pi < \alpha < \pi$.

Интервал $0,5\pi < \alpha < \pi$ соответствует второй четверти тригонометрической окружности. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $\cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Отсюда $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos \alpha$ имеет отрицательное значение: $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$.

2. Найдем $\operatorname{tg}\alpha$ по формуле $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.

3. Найдем $\operatorname{ctg}\alpha$ по формуле $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$ или $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12}$.

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$, $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{12}{5}$, $\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{5}{12}$.

б)

Дано: $\cos \alpha = -\frac{9}{41}$ и $\pi < \alpha < 1,5\pi$.

Интервал $\pi < \alpha < 1,5\pi$ соответствует третьей четверти тригонометрической окружности. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдем $\sin \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$.

Отсюда $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$.

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $\sin \alpha$ имеет отрицательное значение: $\sin \alpha = -\frac{40}{41}$.

2. Найдем $\operatorname{tg}\alpha$ по формуле $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{-40/41}{-9/41} = \frac{40}{9}$.

3. Найдем $\operatorname{ctg}\alpha$ по формуле $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.

$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{40/9} = \frac{9}{40}$.

Ответ: $\sin \alpha = -\frac{40}{41}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{40}{9}$, $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{9}{40}$.