Номер 176, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 176, страница 382.

Условие.

176 а) $ \text{tg } 225^\circ $;

б) $ \text{tg } 120^\circ $;

в) $ \text{tg } (-135^\circ) $;

г) $ \text{tg } (-150^\circ) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения значения $\text{tg}\,225^{\circ}$ воспользуемся формулами приведения. Период тангенса равен $180^{\circ}$, поэтому можно представить угол $225^{\circ}$ в виде суммы $180^{\circ}$ и $45^{\circ}$.
$\text{tg}\,225^{\circ} = \text{tg}\,(180^{\circ} + 45^{\circ})$
Согласно формуле приведения $\text{tg}\,(180^{\circ} + \alpha) = \text{tg}\,\alpha$. Угол $225^{\circ}$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен.
$\text{tg}\,(180^{\circ} + 45^{\circ}) = \text{tg}\,45^{\circ}$
Значение тангенса $45^{\circ}$ является табличным и равно 1.
$\text{tg}\,45^{\circ} = 1$
Следовательно, $\text{tg}\,225^{\circ} = 1$.
Ответ: $1$

б) Для вычисления $\text{tg}\,120^{\circ}$ представим угол $120^{\circ}$ через углы, для которых значения тригонометрических функций известны. Угол $120^{\circ}$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен.
Можно представить $120^{\circ}$ как $180^{\circ} - 60^{\circ}$.
$\text{tg}\,120^{\circ} = \text{tg}\,(180^{\circ} - 60^{\circ})$
Используем формулу приведения $\text{tg}\,(180^{\circ} - \alpha) = -\text{tg}\,\alpha$.
$\text{tg}\,(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\text{tg}\,60^{\circ}$
Табличное значение $\text{tg}\,60^{\circ} = \sqrt{3}$.
Таким образом, $\text{tg}\,120^{\circ} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

в) Для нахождения значения $\text{tg}\,(-135^{\circ})$ используем свойство нечетности функции тангенса: $\text{tg}\,(-\alpha) = -\text{tg}\,\alpha$.
$\text{tg}\,(-135^{\circ}) = -\text{tg}\,135^{\circ}$
Теперь найдем $\text{tg}\,135^{\circ}$. Угол $135^{\circ}$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Представим $135^{\circ}$ как $180^{\circ} - 45^{\circ}$.
$\text{tg}\,135^{\circ} = \text{tg}\,(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{tg}\,45^{\circ} = -1$
Подставляя найденное значение, получаем:
$\text{tg}\,(-135^{\circ}) = -(-1) = 1$
Альтернативный способ — использовать периодичность тангенса:
$\text{tg}\,(-135^{\circ}) = \text{tg}\,(-135^{\circ} + 180^{\circ}) = \text{tg}\,45^{\circ} = 1$
Ответ: $1$

г) Для вычисления $\text{tg}\,(-150^{\circ})$ воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\text{tg}\,(-\alpha) = -\text{tg}\,\alpha$.
$\text{tg}\,(-150^{\circ}) = -\text{tg}\,150^{\circ}$
Угол $150^{\circ}$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Представим $150^{\circ}$ как $180^{\circ} - 30^{\circ}$.
$\text{tg}\,150^{\circ} = \text{tg}\,(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\text{tg}\,30^{\circ}$
Табличное значение $\text{tg}\,30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Значит, $\text{tg}\,150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставляем это значение обратно:
$\text{tg}\,(-150^{\circ}) = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Альтернативный способ — использовать периодичность тангенса:
$\text{tg}\,(-150^{\circ}) = \text{tg}\,(-150^{\circ} + 180^{\circ}) = \text{tg}\,30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$