Номер 181, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 181, страница 383.

181 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{1 - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} $, если $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ \frac{1 - \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $, если $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

в) $ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \left(1 + \frac{(1 - \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha}\right) $, если $ \alpha = 210^\circ $;

г) $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $, если $ \alpha = 240^\circ $.

а) Сначала упростим данное выражение. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - sin^2\alpha = cos^2\alpha$.

Подставим это в числитель исходного выражения:

$\frac{1 - \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \sin\alpha}{1 + \sin\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \cos^2\alpha \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}$

Вынесем в числителе общий множитель $\cos^2\alpha$ за скобки:

$\frac{\cos^2\alpha (1 + \sin\alpha)}{1 + \sin\alpha}$

Так как по условию $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, то $\sin\alpha \neq -1$, а значит $1 + \sin\alpha \neq 0$. Следовательно, можно сократить дробь на $(1 + \sin\alpha)$. Получаем:

$\cos^2\alpha$

Теперь подставим заданное значение $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Упростим выражение, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, из которого $1 - cos^2\alpha = sin^2\alpha$.

Подставим в числитель:

$\frac{1 - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \sin^2\alpha \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$

Вынесем в числителе общий множитель $\sin^2\alpha$ за скобки:

$\frac{\sin^2\alpha (1 + \cos\alpha)}{1 + \cos\alpha}$

Так как по условию $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, то $\cos\alpha \neq -1$, а значит $1 + \cos\alpha \neq 0$. Сокращаем дробь на $(1 + \cos\alpha)$:

$\sin^2\alpha$

Подставим заданное значение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Сначала упростим выражение. Начнем с выражения в скобках, приведя его к общему знаменателю $\sin^2\alpha$:

$1 + \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}$

Раскроем скобки в числителе: $(1 - \cos\alpha)^2 = 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha$. Числитель примет вид:

$\sin^2\alpha + 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha$

Используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получим:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 - 2\cos\alpha = 1 + 1 - 2\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha = 2(1 - \cos\alpha)$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2(1 - \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}$.

Теперь умножим на первую дробь:

$\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{2(1 - \cos\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{2(1 + \cos\alpha)(1 - \cos\alpha)}{\sin^3\alpha}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(1+a)(1-a)=1-a^2$:

$\frac{2(1 - \cos^2\alpha)}{\sin^3\alpha}$

И снова применяем основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$:

$\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^3\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$

Теперь найдем значение $\sin\alpha$ при $\alpha = 210^\circ$. Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти.

$\sin(210^\circ) = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot (-2) = -4$

Ответ: $-4$.

г) Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \cos\alpha)\sin\alpha$:

$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)^2}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sin^2\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ в числителе:

$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{1 + 1 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь (при условии, что $1 + \cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$, что выполняется для $\alpha=240^\circ$):

$\frac{2(1 + \cos\alpha)}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$

Теперь найдем значение $\sin\alpha$ при $\alpha = 240^\circ$. Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти.

$\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{2}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{4}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$-\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{4\sqrt{3}}{3}$.