Номер 184, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 184, страница 383.

Условие.

184 Докажите справедливость равенства:

a) $\frac{\text{tg} (90^\circ + \alpha) \cos (270^\circ + \alpha) \cos (-\alpha)}{\text{ctg} (180^\circ - \alpha) \sin (270^\circ + \alpha) \sin (-\alpha)} = 1;$

б) $\frac{\cos^2 (270^\circ + \alpha)}{\text{tg}^2 (\alpha - 360^\circ)} + \frac{\cos^2 (-\alpha)}{\text{tg}^2 (\alpha - 270^\circ)} = 1;$

В) $\frac{\text{tg} (\alpha + \pi) \cos (\alpha - 2\pi) \cos (2\pi - \alpha)}{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \text{ctg} (\pi - \alpha) \text{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)} = \sin^2 \alpha;$

Г) $\frac{\sin (\alpha + \pi) \cos \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \text{tg} \left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \text{tg} (\pi + \alpha)} = \text{ctg}^2 \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Докажем справедливость равенства $ \frac{\text{tg}(90^\circ + \alpha) \cos(270^\circ + \alpha) \cos(-\alpha)}{\text{ctg}(180^\circ - \alpha) \sin(270^\circ + \alpha) \sin(-\alpha)} = 1 $.
Для этого преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности тригонометрических функций.

Преобразуем каждый множитель в числителе:

• $ \text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (II четверть, тангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию)
• $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) $ (IV четверть, косинус положительный, функция меняется на кофункцию)
• $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (косинус — четная функция)

Преобразуем каждый множитель в знаменателе:

• $ \text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (II четверть, котангенс отрицательный, функция не меняется)
• $ \sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (IV четверть, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию)
• $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (синус — нечетная функция)

Подставим преобразованные выражения в левую часть равенства:

$ \frac{(-\text{ctg}(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{(-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha))} = \frac{-\text{ctg}(\alpha) \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{-\text{ctg}(\alpha) \sin(\alpha) \cos(\alpha)} = 1 $

Получили, что левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $1 = 1$, равенство справедливо.

б)

Докажем справедливость равенства $ \frac{\cos^2(270^\circ + \alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 360^\circ)} + \frac{\cos^2(-\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 270^\circ)} = 1 $.
Преобразуем левую часть равенства.

Рассмотрим первое слагаемое $ \frac{\cos^2(270^\circ + \alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 360^\circ)} $:

• $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) \implies \cos^2(270^\circ + \alpha) = \sin^2(\alpha) $
• $ \text{tg}(\alpha - 360^\circ) = \text{tg}(\alpha) $ (период тангенса $180^\circ$) $ \implies \text{tg}^2(\alpha - 360^\circ) = \text{tg}^2(\alpha) $

Первое слагаемое равно $ \frac{\sin^2(\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}} = \sin^2(\alpha) \cdot \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \cos^2(\alpha) $.

Рассмотрим второе слагаемое $ \frac{\cos^2(-\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 270^\circ)} $:

• $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \implies \cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha) $
• $ \text{tg}(\alpha - 270^\circ) = \text{tg}(-(270^\circ - \alpha)) = -\text{tg}(270^\circ - \alpha) $. В III четверти тангенс положительный, функция меняется на кофункцию, поэтому $ \text{tg}(270^\circ - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. Следовательно, $ \text{tg}(\alpha - 270^\circ) = -\text{ctg}(\alpha) $.
• $ \text{tg}^2(\alpha - 270^\circ) = (-\text{ctg}(\alpha))^2 = \text{ctg}^2(\alpha) $

Второе слагаемое равно $ \frac{\cos^2(\alpha)}{\text{ctg}^2(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}} = \cos^2(\alpha) \cdot \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \sin^2(\alpha) $.

Сложим полученные выражения:

$ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: $1 = 1$, равенство справедливо.

в)

Докажем справедливость равенства $ \frac{\text{tg}(\alpha + \pi) \cos(\alpha - 2\pi) \cos(2\pi - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \text{ctg}(\pi - \alpha) \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} = \sin^2\alpha $.

Преобразуем числитель:

• $ \text{tg}(\alpha + \pi) = \text{tg}(\alpha) $ (период тангенса $ \pi $)
• $ \cos(\alpha - 2\pi) = \cos(\alpha) $ (период косинуса $ 2\pi $)
• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $

Числитель равен $ \text{tg}(\alpha) \cos(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cos^2(\alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

Преобразуем знаменатель (предполагая опечатку в задании и заменяя $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ на $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, что приводит к верному тождеству):

• $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $
• $ \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $
• $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

Знаменатель равен $ \text{ctg}(\alpha) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\text{tg}(\alpha)) = \text{ctg}^2(\alpha) \text{tg}(\alpha) = \text{ctg}(\alpha) \cdot (\text{ctg}(\alpha) \text{tg}(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha) \cdot 1 = \text{ctg}(\alpha) $.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$ \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}} = \sin(\alpha)\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin^2(\alpha) $

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $ \sin^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) $, равенство справедливо.

г)

Докажем справедливость равенства $ \frac{\sin(\alpha + \pi) \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \text{tg}(\pi + \alpha)} = \text{ctg}^2\alpha $.

Преобразуем числитель:

• $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) $
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $
• $ \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \text{tg}(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $

Числитель равен $ (-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) = -\sin^2(\alpha)\text{ctg}(\alpha) $.

Преобразуем знаменатель:

• $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $
• $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $

Знаменатель равен $ (-\sin(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = -\sin^2(\alpha)\text{tg}(\alpha) $.

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-\sin^2(\alpha)\text{ctg}(\alpha)}{-\sin^2(\alpha)\text{tg}(\alpha)} = \frac{\text{ctg}(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)} = \frac{\text{ctg}(\alpha)}{\frac{1}{\text{ctg}(\alpha)}} = \text{ctg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = \text{ctg}^2(\alpha) $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \text{ctg}^2(\alpha) = \text{ctg}^2(\alpha) $, равенство справедливо.