Номер 180, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 180, страница 383.

180 Упростите выражение:

а) $ \frac{2 \cos^2 \alpha - 1}{8 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} $;

б) $ 21.5 - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha + \cos 2\alpha $;

в) $ 2 (\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3 (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) $;

г) $ 4 \sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2} $.

а) Упростим данное выражение, рассмотрев числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель дроби $2 \cos^2 \alpha - 1$ является формулой косинуса двойного угла:
$2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos(2\alpha)$.
Теперь упростим знаменатель $8 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Используем определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$8 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 8 \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 8 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Применим формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$:
$8 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 4 \cdot \left(2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = 4 \sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
По формуле приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, поэтому $4 \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = 4 \cos(2\alpha)$.
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\cos(2\alpha)}{4\cos(2\alpha)} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Рассмотрим выражение $21,5 - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha + \cos 2\alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $21,5 + (\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) + \cos 2\alpha$.
Выражение $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$ можно разложить как разность квадратов:
$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Из формулы косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, следует, что $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$.
Таким образом, $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (-\cos 2\alpha) \cdot 1 = -\cos 2\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$21,5 + (-\cos 2\alpha) + \cos 2\alpha = 21,5 - \cos 2\alpha + \cos 2\alpha = 21,5$.
Ответ: $21,5$.

в) Рассмотрим выражение $2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha)$.
Сначала упростим выражения в скобках.
Для $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$ выделим полный квадрат:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Для $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$ применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)((\sin^2 \alpha)^2 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + (\cos^2 \alpha)^2)$
$= 1 \cdot (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)$.
Подставим уже найденное выражение для $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$:
$= (1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$2(1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 3(1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)$.
Раскроем скобки:
$2 - 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 3 + 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Слагаемые $-6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ и $6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ взаимно уничтожаются, и остается:
$2 - 3 = -1$.
Ответ: $-1$.

г) Рассмотрим выражение $4 \sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2}$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Тогда $\sin^2 2\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$4 \sin^4 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2}$.
Вынесем за скобки общий множитель $4 \sin^2 \alpha$ из первых двух слагаемых:
$4 \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2}$.
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$4 \sin^2 \alpha \cdot 1 - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2} = 4 \sin^2 \alpha - 4 \sin^2 \alpha - \frac{7}{2}$.
Слагаемые $4 \sin^2 \alpha$ и $-4 \sin^2 \alpha$ взаимно уничтожаются.
В результате остается $-\frac{7}{2}$.
Ответ: $-\frac{7}{2}$.