Номер 187, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 187, страница 384.
№187 (с. 384)
Условие. №187 (с. 384)
скриншот условия

187 а) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$;
б) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$;
в) $\cos 2\alpha : (\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha)$;
г) $(\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha) \sin 2\alpha$.
Решение 1. №187 (с. 384)




Решение 2. №187 (с. 384)

Решение 3. №187 (с. 384)


Решение 5. №187 (с. 384)
а) Упростим выражение $ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} $.
Воспользуемся формулами двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и формулой косинуса двойного угла в виде $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $. Последняя удобна, так как в знаменателе есть единица.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + (2 \cos^2 \alpha - 1)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + 2 \cos^2 \alpha - 1} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha} $
Сократим дробь на $ 2 \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha $
Ответ: $ \text{tg } \alpha $
б) Упростим выражение $ \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $.
Воспользуемся формулами двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и на этот раз используем другую формулу для косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $. Это позволит избавиться от единицы в числителе.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$ \frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1 - 1 + 2 \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} $
Сократим дробь на $ 2 \sin \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $):
$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha $
Ответ: $ \text{tg } \alpha $
в) Упростим выражение $ \cos 2\alpha : (\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha) $.
Это выражение можно записать в виде дроби $ \frac{\cos 2\alpha}{\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha} $.
Сначала преобразуем выражение в знаменателе. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $
В числителе получившейся дроби находится формула косинуса двойного угла: $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha $.
Значит, $ \text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$ \frac{\cos 2\alpha}{\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} = \cos 2\alpha \cdot \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha} $
Сократим на $ \cos 2\alpha $ (при условии, что $ \cos 2\alpha \neq 0 $):
$ \sin \alpha \cos \alpha $
Полученное выражение можно также представить через синус двойного угла, используя формулу $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, откуда $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $.
Ответ: $ \frac{1}{2} \sin 2\alpha $
г) Упростим выражение $ (\text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha) \sin 2\alpha $.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $
В числителе получившейся дроби находится основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $.
Таким образом, $ \text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $.
Теперь умножим полученный результат на $ \sin 2\alpha $:
$ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \sin 2\alpha $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) $
Сократим дробь на $ \sin \alpha \cos \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $ и $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ 2 $
Ответ: $ 2 $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 187 расположенного на странице 384 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №187 (с. 384), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.