Номер 187, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 187, страница 384.

Условие.

187 а) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$;

б) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$;

в) $\cos 2\alpha : (\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha)$;

г) $(\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha) \sin 2\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Упростим выражение $ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} $.
Воспользуемся формулами двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и формулой косинуса двойного угла в виде $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $. Последняя удобна, так как в знаменателе есть единица.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + (2 \cos^2 \alpha - 1)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + 2 \cos^2 \alpha - 1} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha} $
Сократим дробь на $ 2 \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha $
Ответ: $ \text{tg } \alpha $

б) Упростим выражение $ \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $.
Воспользуемся формулами двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и на этот раз используем другую формулу для косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $. Это позволит избавиться от единицы в числителе.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$ \frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1 - 1 + 2 \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} $
Сократим дробь на $ 2 \sin \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $):
$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha $
Ответ: $ \text{tg } \alpha $

в) Упростим выражение $ \cos 2\alpha : (\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha) $.
Это выражение можно записать в виде дроби $ \frac{\cos 2\alpha}{\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha} $.
Сначала преобразуем выражение в знаменателе. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $
В числителе получившейся дроби находится формула косинуса двойного угла: $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha $.
Значит, $ \text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$ \frac{\cos 2\alpha}{\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} = \cos 2\alpha \cdot \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha} $
Сократим на $ \cos 2\alpha $ (при условии, что $ \cos 2\alpha \neq 0 $):
$ \sin \alpha \cos \alpha $
Полученное выражение можно также представить через синус двойного угла, используя формулу $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, откуда $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $.
Ответ: $ \frac{1}{2} \sin 2\alpha $

г) Упростим выражение $ (\text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha) \sin 2\alpha $.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $
В числителе получившейся дроби находится основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $.
Таким образом, $ \text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $.
Теперь умножим полученный результат на $ \sin 2\alpha $:
$ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \sin 2\alpha $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) $
Сократим дробь на $ \sin \alpha \cos \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $ и $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ 2 $
Ответ: $ 2 $