Номер 183, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 183, страница 383.

Условие.

183 а) $\text{ctg } \alpha$ и $\sin \alpha$, если $\text{tg } \alpha = - \frac{3}{4}$ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

б) $\text{tg } \alpha$ и $\cos \alpha$, если $\text{ctg } \alpha = - \frac{5}{12}$ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

в) $\cos \alpha$, если $\text{tg } \alpha = - \frac{3}{4}$ и $ 0,5\pi < \alpha < \pi $;

г) $\sin \alpha$, если $\text{ctg } \alpha = - \frac{4}{3}$ и $ 0,5\pi < \alpha < \pi $;

д) $\cos \alpha$, если $\text{tg } \alpha = - \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $ 0,5\pi < \alpha < \pi $;

е) $\sin \alpha$, если $\text{ctg } \alpha = - \frac{\sqrt{7}}{3}$ и $ 1,5\pi < \alpha < 2\pi $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дано: $\text{tg } \alpha = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Нужно найти $\text{ctg } \alpha$ и $\sin \alpha$.

1. Найдём котангенс, используя тождество $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}$.

$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.

2. Найдём синус, используя тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9}$.

Отсюда $\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$, значит $\sin \alpha = \pm\frac{3}{5}$.

Угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где синус положителен ($\sin \alpha > 0$). Поэтому выбираем знак плюс.

Ответ: $\text{ctg } \alpha = -\frac{4}{3}$, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.

б) Дано: $\text{ctg } \alpha = -\frac{5}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Нужно найти $\text{tg } \alpha$ и $\cos \alpha$.

1. Найдём тангенс, используя тождество $\text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha}$.

$\text{tg } \alpha = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

2. Найдём косинус, используя тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-\frac{12}{5})^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{25+144}{25} = \frac{169}{25}$.

Отсюда $\cos^2 \alpha = \frac{25}{169}$, значит $\cos \alpha = \pm\frac{5}{13}$.

Угол $\alpha$ принадлежит четвёртой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), где косинус положителен ($\cos \alpha > 0$). Поэтому выбираем знак плюс.

Ответ: $\text{tg } \alpha = -\frac{12}{5}$, $\cos \alpha = \frac{5}{13}$.

в) Дано: $\text{tg } \alpha = -\frac{3}{4}$ и $0,5\pi < \alpha < \pi$. Нужно найти $\cos \alpha$.

1. Используем тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16}$.

Отсюда $\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$, значит $\cos \alpha = \pm\frac{4}{5}$.

Угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($0,5\pi < \alpha < \pi$), где косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$). Поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.

г) Дано: $\text{ctg } \alpha = -\frac{4}{3}$ и $0,5\pi < \alpha < \pi$. Нужно найти $\sin \alpha$.

1. Используем тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9}$.

Отсюда $\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$, значит $\sin \alpha = \pm\frac{3}{5}$.

Угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($0,5\pi < \alpha < \pi$), где синус положителен ($\sin \alpha > 0$). Поэтому выбираем знак плюс.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.

д) Дано: $\text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $0,5\pi < \alpha < \pi$. Нужно найти $\cos \alpha$.

1. Используем тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{5}{4} = \frac{4+5}{4} = \frac{9}{4}$.

Отсюда $\cos^2 \alpha = \frac{4}{9}$, значит $\cos \alpha = \pm\frac{2}{3}$.

Угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($0,5\pi < \alpha < \pi$), где косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$). Поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$.

е) Дано: $\text{ctg } \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ и $1,5\pi < \alpha < 2\pi$. Нужно найти $\sin \alpha$.

1. Используем тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-\frac{\sqrt{7}}{3})^2 = 1 + \frac{7}{9} = \frac{9+7}{9} = \frac{16}{9}$.

Отсюда $\sin^2 \alpha = \frac{9}{16}$, значит $\sin \alpha = \pm\frac{3}{4}$.

Угол $\alpha$ принадлежит четвёртой четверти ($1,5\pi < \alpha < 2\pi$), где синус отрицателен ($\sin \alpha < 0$). Поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $\sin \alpha = -\frac{3}{4}$.