Номер 178, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 178, страница 382.

Условие.

178 a) $20 \sin 330^\circ \cos (-240^\circ) \operatorname{tg} 120^\circ - 2 \cos 150^\circ \operatorname{tg} (-135^\circ);$

б) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ;$

в) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ + \dots + \operatorname{tg} 160^\circ + \operatorname{tg} 180^\circ.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $20 \sin 330^\circ \cos(-240^\circ) \operatorname{tg} 120^\circ - 2 \cos 150^\circ \operatorname{tg}(-135^\circ)$

Для решения этого выражения необходимо вычислить значения тригонометрических функций для каждого угла, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности функций.

1. Упростим каждый множитель в выражении:

• $\sin 330^\circ = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -{1 \over 2}$
• $\cos(-240^\circ) = \cos(240^\circ)$ (так как косинус — четная функция) $= \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -{1 \over 2}$
• $\operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}$
• $\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -{\sqrt{3} \over 2}$
• $\operatorname{tg}(-135^\circ) = -\operatorname{tg}(135^\circ)$ (так как тангенс — нечетная функция) $= -\operatorname{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -(-\operatorname{tg} 45^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$

2. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$20 \cdot \left(-{1 \over 2}\right) \cdot \left(-{1 \over 2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) - 2 \cdot \left(-{\sqrt{3} \over 2}\right) \cdot 1$

3. Выполним арифметические действия:

$20 \cdot \left({1 \over 4}\right) \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) = 5 \cdot (-\sqrt{3}) + \sqrt{3} = -5\sqrt{3} + \sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

Ответ: $-4\sqrt{3}$

б) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$

Данная сумма представляет собой сумму косинусов углов, образующих арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и разностью $20^\circ$. Всего в сумме 9 членов: от $\cos(20^\circ \cdot 1)$ до $\cos(20^\circ \cdot 9)$.

Для вычисления суммы воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Сгруппируем слагаемые попарно таким образом, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $180^\circ$.

$S = (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) + (\cos 40^\circ + \cos 140^\circ) + (\cos 60^\circ + \cos 120^\circ) + (\cos 80^\circ + \cos 100^\circ) + \cos 180^\circ$

Вычислим сумму в каждой скобке:

• $\cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ$. Тогда $\cos 20^\circ + \cos 160^\circ = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0$.
• $\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ$. Тогда $\cos 40^\circ + \cos 140^\circ = \cos 40^\circ - \cos 40^\circ = 0$.
• $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ$. Тогда $\cos 60^\circ + \cos 120^\circ = \cos 60^\circ - \cos 60^\circ = 0$.
• $\cos 100^\circ = \cos(180^\circ - 80^\circ) = -\cos 80^\circ$. Тогда $\cos 80^\circ + \cos 100^\circ = \cos 80^\circ - \cos 80^\circ = 0$.

Таким образом, все пары слагаемых в сумме дают ноль. Остается только последний член суммы, который не имеет пары:

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + \cos 180^\circ$

Значение $\cos 180^\circ = -1$.

Следовательно, вся сумма равна -1.

Ответ: $-1$

в) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ + \dots + \operatorname{tg} 160^\circ + \operatorname{tg} 180^\circ$

Как и в предыдущем пункте, мы имеем сумму значений тангенсов углов, образующих арифметическую прогрессию. В последовательности углов $20^\circ, 40^\circ, \dots, 180^\circ$ нет угла $90^\circ$, для которого тангенс не определен, поэтому все слагаемые существуют.

Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$ и сгруппируем слагаемые попарно:

$S = (\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 160^\circ) + (\operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 140^\circ) + (\operatorname{tg} 60^\circ + \operatorname{tg} 120^\circ) + (\operatorname{tg} 80^\circ + \operatorname{tg} 100^\circ) + \operatorname{tg} 180^\circ$

Вычислим сумму в каждой скобке:

• $\operatorname{tg} 160^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 20^\circ) = -\operatorname{tg} 20^\circ$. Тогда $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 160^\circ = \operatorname{tg} 20^\circ - \operatorname{tg} 20^\circ = 0$.
• $\operatorname{tg} 140^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 40^\circ) = -\operatorname{tg} 40^\circ$. Тогда $\operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 140^\circ = \operatorname{tg} 40^\circ - \operatorname{tg} 40^\circ = 0$.
• $\operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ$. Тогда $\operatorname{tg} 60^\circ + \operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg} 60^\circ - \operatorname{tg} 60^\circ = 0$.
• $\operatorname{tg} 100^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 80^\circ) = -\operatorname{tg} 80^\circ$. Тогда $\operatorname{tg} 80^\circ + \operatorname{tg} 100^\circ = \operatorname{tg} 80^\circ - \operatorname{tg} 80^\circ = 0$.

Все сгруппированные пары дают в сумме ноль. Остается последнее слагаемое $\operatorname{tg} 180^\circ$.

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + \operatorname{tg} 180^\circ$

Значение $\operatorname{tg} 180^\circ = {\sin 180^\circ \over \cos 180^\circ} = {0 \over -1} = 0$.

Следовательно, вся сумма равна 0.

Ответ: $0$