Номер 172, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 172, страница 382.

Условие.

172 а) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

б) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

в) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

г) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

д) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

е) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

ж) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

з) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяются формулы приведения. Процесс состоит из двух шагов:
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, исходная функция $\sin$ меняется на свою кофункцию, то есть на $\cos$.
2. Определение знака: ধরে নিচ্ছি $\alpha$ একটি সূক্ষ্ম কোণ, তাহলে $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। তৃতীয় চতুর্ভাগে $\sin$ এর মান ঋণাত্মক।
Таким образом, итоговое выражение получает знак «минус».
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$

б) Для упрощения выражения $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвёртой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\sin$ имеет отрицательное значение.
Следовательно, результат будет со знаком «минус».
$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$

в) Для упрощения выражения $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\cos$ имеет отрицательное значение.
Таким образом, результат будет со знаком «минус».
$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$

г) Для упрощения выражения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвёртой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\cos$ имеет положительное значение.
Следовательно, знак итогового выражения — «плюс».
$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$

д) Для упрощения выражения $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\tan$ меняется на кофункцию $\cot$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\tan$ имеет положительное значение.
Следовательно, знак итогового выражения — «плюс».
$\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot(\alpha)$.
Ответ: $\cot(\alpha)$

е) Для упрощения выражения $\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\tan$ меняется на кофункцию $\cot$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвёртой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\tan$ имеет отрицательное значение.
Таким образом, результат будет со знаком «минус».
$\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cot(\alpha)$.
Ответ: $-\cot(\alpha)$

ж) Для упрощения выражения $\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\cot$ меняется на кофункцию $\tan$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\cot$ имеет положительное значение.
Следовательно, знак итогового выражения — «плюс».
$\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \tan(\alpha)$.
Ответ: $\tan(\alpha)$

з) Для упрощения выражения $\cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определение новой функции: так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, функция $\cot$ меняется на кофункцию $\tan$.
2. Определение знака: угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвёртой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $\cot$ имеет отрицательное значение.
Таким образом, результат будет со знаком «минус».
$\cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tan(\alpha)$.
Ответ: $-\tan(\alpha)$