Номер 165, страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмитические неравенства. Задания для повторения - номер 165, страница 381.

165 a) $\log_2 \log_3 x > 0;$

б) $\log_3 \log_{\frac{1}{2}} x > 0;$

в) $\log_{\frac{1}{2}} \log_3 x > 0;$

г) $\log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} x > 0.$

а) Для решения неравенства $\log_2 \log_3 x > 0$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент внешнего логарифма, $\log_3 x$, должен быть строго больше нуля: $\log_3 x > 0$. Так как основание логарифма $3 > 1$, это неравенство равносильно $x > 3^0$, то есть $x > 1$. Это условие также обеспечивает, что аргумент внутреннего логарифма $x$ положителен. Теперь решим само неравенство. Так как основание внешнего логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и мы можем убрать логарифм, сохранив знак неравенства: $\log_3 x > 2^0$, что равносильно $\log_3 x > 1$. Для решения этого неравенства, снова обращаем внимание на основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 3^1$, то есть $x > 3$. Учитывая ОДЗ ($x>1$), окончательное решение — это пересечение условий $x > 1$ и $x > 3$, что дает $x > 3$.
Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_3 \log_{\frac{1}{2}} x > 0$. Сначала найдем ОДЗ. Аргумент внутреннего логарифма: $x>0$. Аргумент внешнего логарифма: $\log_{\frac{1}{2}} x > 0$. Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при решении этого неравенства знак меняется на противоположный: $x < (\frac{1}{2})^0$, то есть $x < 1$. Таким образом, ОДЗ: $0 < x < 1$. Теперь решаем исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $3 > 1$, поэтому функция возрастающая и знак неравенства сохраняется: $\log_{\frac{1}{2}} x > 3^0$, что дает $\log_{\frac{1}{2}} x > 1$. При решении этого неравенства, учитываем, что основание $\frac{1}{2} < 1$, поэтому знак неравенства меняется: $x < (\frac{1}{2})^1$, то есть $x < \frac{1}{2}$. Объединяя результат с ОДЗ ($0 < x < 1$), получаем итоговое решение $0 < x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (0, \frac{1}{2})$.

в) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} \log_3 x > 0$. ОДЗ определяется условиями: $x > 0$ и $\log_3 x > 0$. Второе неравенство, так как основание $3>1$, дает $x > 3^0$, то есть $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x > 1$. Теперь решаем само неравенство. Основание внешнего логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный: $\log_3 x < (\frac{1}{2})^0$, что равносильно $\log_3 x < 1$. Для решения этого неравенства, так как основание $3 > 1$, знак не меняется: $x < 3^1$, то есть $x < 3$. Совмещая полученный результат с ОДЗ ($x>1$), находим пересечение интервалов: $1 < x < 3$.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

г) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} x > 0$. Найдем ОДЗ. Требуется, чтобы $x > 0$ и $\log_{\frac{1}{3}} x > 0$. Так как основание $\frac{1}{3} < 1$, функция убывающая, и для решения второго неравенства знак меняется на противоположный: $x < (\frac{1}{3})^0$, то есть $x < 1$. Таким образом, ОДЗ: $0 < x < 1$. Теперь решаем исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется: $\log_{\frac{1}{3}} x < (\frac{1}{2})^0$, что дает $\log_{\frac{1}{3}} x < 1$. Для решения этого неравенства, так как основание $\frac{1}{3} < 1$, знак снова меняется на противоположный: $x > (\frac{1}{3})^1$, то есть $x > \frac{1}{3}$. Объединяя результат с ОДЗ ($0 < x < 1$), получаем окончательное решение $ \frac{1}{3} < x < 1$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, 1)$.