Номер 158, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Показатели неравенств. Задания для повторения - номер 158, страница 380.
№158 (с. 380)
Условие. №158 (с. 380)
скриншот условия

158 $(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot (\sqrt{2}-1)^x$.
Решение 1. №158 (с. 380)

Решение 2. №158 (с. 380)

Решение 3. №158 (с. 380)

Решение 5. №158 (с. 380)
Для решения данного показательного неравенства заметим, что основания степеней $(\sqrt{2}+1)$ и $(\sqrt{2}-1)$ являются сопряженными числами. Найдем их произведение:
$$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$
Из этого следует, что $(\sqrt{2}-1) = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}+1)^{-1}$.
Используя это свойство, мы можем переписать исходное неравенство:
$$(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot ((\sqrt{2}+1)^{-1})^x$$
$$(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot (\sqrt{2}+1)^{-x}$$
Введем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Поскольку основание $\sqrt{2}+1 > 1$, показательная функция $y=(\sqrt{2}+1)^x$ всегда принимает положительные значения, следовательно, $t > 0$.
Подставив $t$ в неравенство, получим:
$$t + 1 < 2 \cdot \frac{1}{t}$$
Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, сохранив знак неравенства:
$$t(t + 1) < 2$$
$$t^2 + t - 2 < 0$$
Мы получили квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Парабола $y = t^2 + t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями:
$$-2 < t < 1$$
Теперь вернемся к условию $t>0$, которое мы установили при замене. Объединим оба условия для $t$:
$$ \begin{cases} -2 < t < 1 \\ t > 0 \end{cases} \implies 0 < t < 1 $$
Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $(\sqrt{2}+1)^x$:
$$0 < (\sqrt{2}+1)^x < 1$$
Неравенство $0 < (\sqrt{2}+1)^x$ выполняется при любых действительных значениях $x$. Остается решить вторую часть двойного неравенства:
$$(\sqrt{2}+1)^x < 1$$
Представим число 1 в виде степени с тем же основанием:
$$(\sqrt{2}+1)^x < (\sqrt{2}+1)^0$$
Основание степени $a = \sqrt{2}+1$ больше единицы ($a \approx 2.414 > 1$). Для показательной функции с основанием больше 1, большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому, переходя к неравенству для показателей, мы сохраняем знак неравенства:
$$x < 0$$
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 158 расположенного на странице 380 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №158 (с. 380), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.