Номер 158, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Показатели неравенств - номер 158, страница 380.

Условие.

158 $(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot (\sqrt{2}-1)^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения данного показательного неравенства заметим, что основания степеней $(\sqrt{2}+1)$ и $(\sqrt{2}-1)$ являются сопряженными числами. Найдем их произведение:

$$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$

Из этого следует, что $(\sqrt{2}-1) = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}+1)^{-1}$.

Используя это свойство, мы можем переписать исходное неравенство:

$$(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot ((\sqrt{2}+1)^{-1})^x$$

$$(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot (\sqrt{2}+1)^{-x}$$

Введем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Поскольку основание $\sqrt{2}+1 > 1$, показательная функция $y=(\sqrt{2}+1)^x$ всегда принимает положительные значения, следовательно, $t > 0$.

Подставив $t$ в неравенство, получим:

$$t + 1 < 2 \cdot \frac{1}{t}$$

Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, сохранив знак неравенства:

$$t(t + 1) < 2$$

$$t^2 + t - 2 < 0$$

Мы получили квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 + t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями:

$$-2 < t < 1$$

Теперь вернемся к условию $t>0$, которое мы установили при замене. Объединим оба условия для $t$:

$$ \begin{cases} -2 < t < 1 \\ t > 0 \end{cases} \implies 0 < t < 1 $$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $(\sqrt{2}+1)^x$:

$$0 < (\sqrt{2}+1)^x < 1$$

Неравенство $0 < (\sqrt{2}+1)^x$ выполняется при любых действительных значениях $x$. Остается решить вторую часть двойного неравенства:

$$(\sqrt{2}+1)^x < 1$$

Представим число 1 в виде степени с тем же основанием:

$$(\sqrt{2}+1)^x < (\sqrt{2}+1)^0$$

Основание степени $a = \sqrt{2}+1$ больше единицы ($a \approx 2.414 > 1$). Для показательной функции с основанием больше 1, большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому, переходя к неравенству для показателей, мы сохраняем знак неравенства:

$$x < 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.