Номер 152, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 152, страница 380.

152 a) $\log_3 x \cdot (5 - 2 \log_3 x) = 3;$

б) $(\log_2 x)^2 + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0;$

в) $\left(\frac{1}{2} \log_3 x - 6\right) \cdot \log_9 x = 4(2 - \log_9 x).$

а) Дано уравнение $\log_{3}x \cdot (5 - 2\log_{3}x) = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.
Введем замену переменной $t = \log_{3}x$. Уравнение примет вид:
$t(5 - 2t) = 3$
$5t - 2t^2 = 3$
$2t^2 - 5t + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$t_{1} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$t_{2} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Теперь выполним обратную замену:
1. Если $\log_{3}x = \frac{3}{2}$, то $x = 3^{3/2} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
2. Если $\log_{3}x = 1$, то $x = 3^1 = 3$.
Оба корня ($3\sqrt{3}$ и $3$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; 3\sqrt{3}$.

б) Дано уравнение $(\log_{2}x)^2 + 3\log_{\frac{1}{2}}x + 2 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем логарифм с основанием $\frac{1}{2}$ к логарифму с основанием 2, используя свойство $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_{a}b$:
$\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{2^{-1}}x = -1 \cdot \log_{2}x = -\log_{2}x$.
Подставив это в исходное уравнение, получим:
$(\log_{2}x)^2 - 3\log_{2}x + 2 = 0$.
Сделаем замену $t = \log_{2}x$:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко находятся по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Следовательно, $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
1. Если $\log_{2}x = 1$, то $x = 2^1 = 2$.
2. Если $\log_{2}x = 2$, то $x = 2^2 = 4$.
Оба корня ($2$ и $4$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 4$.

в) Дано уравнение $\left(\frac{1}{2}\log_{3}x - 6\right) \cdot \log_{9}x = 4(2 - \log_{9}x)$.
ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 9. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$.
$\log_{3}x = \frac{\log_{9}x}{\log_{9}3} = \frac{\log_{9}x}{1/2} = 2\log_{9}x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\left(\frac{1}{2} \cdot (2\log_{9}x) - 6\right) \cdot \log_{9}x = 4(2 - \log_{9}x)$
$(\log_{9}x - 6) \cdot \log_{9}x = 8 - 4\log_{9}x$.
Введем замену $t = \log_{9}x$ и раскроем скобки:
$(t - 6)t = 8 - 4t$
$t^2 - 6t = 8 - 4t$
$t^2 - 2t - 8 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -8$. Следовательно, $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1. Если $\log_{9}x = 4$, то $x = 9^4 = 6561$.
2. Если $\log_{9}x = -2$, то $x = 9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.
Оба корня ($6561$ и $\frac{1}{81}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{81}; 6561$.