Номер 156, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели неравенств. Задания для повторения - номер 156, страница 380.

156 a) $4^{x - 0.5} + 2^{x + 1} - 16 < 0;$

б) $3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x + 1} - 5 \le 0;$

в) $25^{-x} - 5^{-x + 1} \ge 50.$

а) Решим неравенство $4^{x-0,5} + 2^{x+1} - 16 < 0$.

Преобразуем все степени к основанию 2:

$4^{x-0,5} = (2^2)^{x-0,5} = 2^{2(x-0,5)} = 2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^x)^2$.

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$\frac{1}{2} \cdot (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 16 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$\frac{1}{2}t^2 + 2t - 16 < 0$.

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$t^2 + 4t - 32 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 4t - 32 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.

$t_1 = \frac{-4 - 12}{2} = -8$.

$t_2 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$.

Парабола $y = t^2 + 4t - 32$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + 4t - 32 < 0$ выполняется между корнями: $-8 < t < 4$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем двойное неравенство: $0 < t < 4$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < 2^x < 4$.

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решим неравенство $2^x < 4$.

$2^x < 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому переходим к сравнению показателей:

$x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) Решим неравенство $3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x+1} - 5 \le 0$.

Приведем степени к одному основанию 2:

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$.

Подставим в неравенство:

$3 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot (2 \cdot 2^x) - 5 \le 0$.

$3 \cdot (2^x)^2 - 14 \cdot 2^x - 5 \le 0$.

Выполним замену переменной: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$3t^2 - 14t - 5 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 - 14t - 5 = 0$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

$t_1 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$t_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.

Парабола $y = 3t^2 - 14t - 5$ ветвями вверх, значит, неравенство $3t^2 - 14t - 5 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-\frac{1}{3} \le t \le 5$.

С учетом ограничения $t > 0$, получаем: $0 < t \le 5$.

Сделаем обратную замену:

$0 < 2^x \le 5$.

Решаем неравенство $2^x \le 5$. Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства не меняется:

$\log_2(2^x) \le \log_2(5)$.

$x \le \log_2(5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_2(5)]$.

в) Решим неравенство $25^{-x} - 5^{-x+1} \ge 50$.

Преобразуем степени к основанию 5:

$25^{-x} = (5^2)^{-x} = 5^{-2x} = (5^{-x})^2$.

$5^{-x+1} = 5^{-x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{-x}$.

Подставим в неравенство:

$(5^{-x})^2 - 5 \cdot 5^{-x} - 50 \ge 0$.

Сделаем замену: пусть $t = 5^{-x}$, при этом $t > 0$.

$t^2 - 5t - 50 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t - 50 = 0$. По теореме Виета:

$t_1 = -5$, $t_2 = 10$.

Парабола $y = t^2 - 5t - 50$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 5t - 50 \ge 0$ выполняется при $t \le -5$ или $t \ge 10$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -5$. Остается $t \ge 10$.

Вернемся к переменной $x$:

$5^{-x} \ge 10$.

Прологарифмируем обе части по основанию 5. Так как $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_5(5^{-x}) \ge \log_5(10)$.

$-x \ge \log_5(10)$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -\log_5(10)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\log_5(10)]$.