Номер 160, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

160 a) $3^{x+1} + 18 \cdot 3^{-x} > 29;$

б) $2^{x+1} + 32 \cdot 2^{-x} > 20.$

Для решения этих показательных неравенств применим метод введения новой переменной. Это позволит свести их к более простым квадратным неравенствам.

а) $3^{x+1} + 18 \cdot 3^{-x} > 29$

1. Используем свойства степеней: $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$ и $3^{-x} = \frac{1}{3^x}$.
2. Введем замену: пусть $3^x = t$, где $t > 0$.
3. Перепишем неравенство: $3t + \frac{18}{t} > 29$.
4. Умножим обе части на $t$ (так как $t > 0$, знак не меняется) и перенесем всё влево:
   $$3t^2 - 29t + 18 > 0$$
5. Найдем корни уравнения $3t^2 - 29t + 18 = 0$:
   $D = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625 = 25^2$.
   $t_1 = \frac{29 - 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; $t_2 = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9$.
6. Решение для $t$: $t < \frac{2}{3}$ или $t > 9$.
7. Вернемся к замене:
   • $3^x < \frac{2}{3} \Rightarrow \mathbf{x < \log_3 \frac{2}{3}} \Rightarrow x < \log_3 2 - 1$
   • $3^x > 9 \Rightarrow 3^x > 3^2 \Rightarrow \mathbf{x > 2}$

Ответ: $x \in (-\infty; \log_3 2 - 1) \cup (2; +\infty)$

б) $2^{x+1} + 32 \cdot 2^{-x} > 20$

1. Преобразуем: $2 \cdot 2^x + \frac{32}{2^x} > 20$.
2. Введем замену: пусть $2^x = t$, где $t > 0$.
3. Уравнение: $2t + \frac{32}{t} > 20 \Rightarrow 2t^2 - 20t + 32 > 0$.
4. Разделим на 2: $t^2 - 10t + 16 > 0$.
5. Корни уравнения по теореме Виета: $t_1 = 2, t_2 = 8$.
6. Решение для $t$: $t < 2$ или $t > 8$.
7. Вернемся к замене:
   • $2^x < 2 \Rightarrow 2^x < 2^1 \Rightarrow \mathbf{x < 1}$
   • $2^x > 8 \Rightarrow 2^x > 2^3 \Rightarrow \mathbf{x > 3}$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$