Номер 160, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Показатели неравенств - номер 160, страница 380.

Условие.

160 a) $3^{x+1} + 18 \cdot 3^{-x} > 29;$

б) $2^{x+1} + 32 \cdot 2^{-x} > 20.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $3^{x+1} + 18 \cdot 3^{-x} > 29$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $3 \cdot 3^x + 18 \cdot \frac{1}{3^x} > 29$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $3t + \frac{18}{t} > 29$.

Поскольку $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства: $3t^2 + 18 > 29t$, что равносильно $3t^2 - 29t + 18 > 0$.

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3t^2 - 29t + 18 = 0$.

Дискриминант $D = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625 = 25^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{29 - 25}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{29 + 25}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9$.

Графиком функции $f(t) = 3t^2 - 29t + 18$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $f(t) > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями: $t < \frac{2}{3}$ или $t > 9$.

С учетом условия $t > 0$, получаем совокупность решений для $t$: $0 < t < \frac{2}{3}$ или $t > 9$.

Выполним обратную замену, вернувшись к переменной $x$.

1) $0 < 3^x < \frac{2}{3}$. Так как $3^x$ всегда больше 0, решаем неравенство $3^x < \frac{2}{3}$. Прологарифмируем обе части по основанию 3: $x < \log_3(\frac{2}{3})$.

2) $3^x > 9$. Представим 9 как степень с основанием 3: $3^x > 3^2$. Поскольку основание $3 > 1$, то $x > 2$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_3(\frac{2}{3})) \cup (2; +\infty)$.

б) $2^{x+1} + 32 \cdot 2^{-x} > 20$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $2 \cdot 2^x + 32 \cdot \frac{1}{2^x} > 20$.

Разделим обе части неравенства на 2 для упрощения: $2^x + 16 \cdot \frac{1}{2^x} > 10$.

Введем замену переменной. Пусть $y = 2^x$, при этом $y > 0$.

Неравенство принимает вид: $y + \frac{16}{y} > 10$.

Так как $y > 0$, умножим обе части на $y$: $y^2 + 16 > 10y$, что равносильно $y^2 - 10y + 16 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 - 10y + 16 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = 8$.

Графиком функции $f(y) = y^2 - 10y + 16$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $f(y) > 0$ выполняется при $y < 2$ или $y > 8$.

С учетом условия $y > 0$, получаем два случая: $0 < y < 2$ или $y > 8