Номер 166, страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмитические неравенства. Задания для повторения - номер 166, страница 381.

166 a) $ \log_2 \log_3 x < 0; $

б) $ \log_3 \log_{\frac{1}{2}} x < 0; $

в) $ \log_{\frac{1}{2}} \log_3 x < 0; $

г) $ \log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} x < 0. $

а) $ \log_{2} \log_{3} x < 0 $

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргументы логарифмов должны быть положительными, что определяет область допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: $ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{3} x > 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство системы: $ \log_{3} x > \log_{3} 1 $. Так как основание $ 3 > 1 $, то $ x > 1 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (1; +\infty) $.
Теперь решим исходное неравенство. Представим 0 как $ \log_{2} 1 $:
$ \log_{2} (\log_{3} x) < \log_{2} 1 $
Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$ \log_{3} x < 1 $
Представим 1 как $ \log_{3} 3 $:
$ \log_{3} x < \log_{3} 3 $
Так как основание $ 3 > 1 $, то $ x < 3 $.
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \end{cases} \implies 1 < x < 3 $.
Ответ: $ x \in (1; 3) $.

б) $ \log_{3} \log_{\frac{1}{2}} x < 0 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x > 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство системы: $ \log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} 1 $. Так как основание $ \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $ x < 1 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0; 1) $.
Решаем исходное неравенство: $ \log_{3} (\log_{\frac{1}{2}} x) < \log_{3} 1 $.
Так как основание $ 3 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ \log_{\frac{1}{2}} x < 1 $
Представим 1 как $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} $:
$ \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} $
Так как основание $ \frac{1}{2} < 1 $, знак неравенства меняется на противоположный: $ x > \frac{1}{2} $.
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \implies \frac{1}{2} < x < 1 $.
Ответ: $ x \in (\frac{1}{2}; 1) $.

в) $ \log_{\frac{1}{2}} \log_{3} x < 0 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{3} x > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства $ \log_{3} x > \log_{3} 1 $ получаем $ x > 1 $, так как основание $ 3 > 1 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (1; +\infty) $.
Решаем исходное неравенство: $ \log_{\frac{1}{2}} (\log_{3} x) < \log_{\frac{1}{2}} 1 $.
Так как основание $ \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства меняется:
$ \log_{3} x > 1 $
Представим 1 как $ \log_{3} 3 $:
$ \log_{3} x > \log_{3} 3 $
Так как основание $ 3 > 1 $, знак неравенства сохраняется: $ x > 3 $.
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 1 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3 $.
Ответ: $ x \in (3; +\infty) $.

г) $ \log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} x < 0 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{3}} x > 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $ \log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} 1 $. Так как основание $ \frac{1}{3} < 1 $, знак неравенства меняется: $ x < 1 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0; 1) $.
Решаем исходное неравенство: $ \log_{\frac{1}{2}} (\log_{\frac{1}{3}} x) < \log_{\frac{1}{2}} 1 $.
Так как основание $ \frac{1}{2} < 1 $, знак неравенства меняется:
$ \log_{\frac{1}{3}} x > 1 $
Представим 1 как $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} $:
$ \log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} $
Так как основание $ \frac{1}{3} < 1 $, знак неравенства снова меняется: $ x < \frac{1}{3} $.
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x < \frac{1}{3} \end{cases} \implies 0 < x < \frac{1}{3} $.
Ответ: $ x \in (0; \frac{1}{3}) $.