Номер 169, страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмитические неравенства. Задания для повторения - номер 169, страница 381.

169 Найдите наибольшее целое решение неравенства:

а) $\frac{\log_{0.3} (x + 1)}{\log_{0.3} 100 - \log_{0.3} 9} < 1;$

б) $\frac{\log_{0.2} (x + 1.5)}{\log_{0.2} 100 - \log_{0.2} 4} < 1.$

а)

Решим неравенство: $$ \frac{\log_{0,3}(x+1)}{\log_{0,3}100 - \log_{0,3}9} < 1 $$ Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$ x + 1 > 0 \implies x > -1 $$ Теперь упростим знаменатель дроби, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$: $$ \log_{0,3}100 - \log_{0,3}9 = \log_{0,3}\left(\frac{100}{9}\right) $$ Определим знак знаменателя. Основание логарифма $a = 0,3$, где $0 < 0,3 < 1$. Аргумент $b = \frac{100}{9} > 1$. Для логарифмической функции с основанием меньше 1, если аргумент больше 1, значение логарифма отрицательно. Следовательно, $\log_{0,3}\left(\frac{100}{9}\right) < 0$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{\log_{0,3}(x+1)}{\log_{0,3}(100/9)} < 1 $$ Умножим обе части неравенства на знаменатель $\log_{0,3}\left(\frac{100}{9}\right)$. Так как это число отрицательное, знак неравенства изменится на противоположный: $$ \log_{0,3}(x+1) > \log_{0,3}\left(\frac{100}{9}\right) $$ Теперь решим полученное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $0,3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства снова меняется на противоположный: $$ x+1 < \frac{100}{9} $$ $$ x < \frac{100}{9} - 1 $$ $$ x < \frac{100 - 9}{9} $$ $$ x < \frac{91}{9} $$ Переведем дробь в смешанное число: $\frac{91}{9} = 10\frac{1}{9}$. Таким образом, $x < 10\frac{1}{9}$. Объединим это решение с ОДЗ ($x > -1$): $$ -1 < x < 10\frac{1}{9} $$ Нам нужно найти наибольшее целое решение. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 10.

Ответ: 10.

б)

Решим неравенство: $$ \frac{\log_{0,2}(x+1,5)}{\log_{0,2}100 - \log_{0,2}4} < 1 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ x + 1,5 > 0 \implies x > -1,5 $$ Упростим знаменатель: $$ \log_{0,2}100 - \log_{0,2}4 = \log_{0,2}\left(\frac{100}{4}\right) = \log_{0,2}25 $$ Определим знак знаменателя. Основание логарифма $a = 0,2$, где $0 < 0,2 < 1$. Аргумент $b = 25 > 1$. Следовательно, знаменатель $\log_{0,2}25$ отрицателен. Можно также вычислить его точное значение: $\log_{0,2}25 = \log_{1/5}5^2 = 2 \log_{5^{-1}}5 = -2\log_5 5 = -2$. Подставим значение знаменателя в исходное неравенство: $$ \frac{\log_{0,2}(x+1,5)}{-2} < 1 $$ Умножим обе части на -2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: $$ \log_{0,2}(x+1,5) > -2 $$ Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,2: $$ -2 = -2 \cdot \log_{0,2}0,2 = \log_{0,2}((0,2)^{-2}) = \log_{0,2}\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\right) = \log_{0,2}(5^2) = \log_{0,2}25 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{0,2}(x+1,5) > \log_{0,2}25 $$ Поскольку основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный: $$ x+1,5 < 25 $$ $$ x < 25 - 1,5 $$ $$ x < 23,5 $$ Объединим это решение с ОДЗ ($x > -1,5$): $$ -1,5 < x < 23,5 $$ Наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, это 23.

Ответ: 23.