Страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

162 а) $4^x \ge \frac{2 \cdot 4^{x+1} + 16}{16 - 4^x}$. Укажите наименьшее решение.

б) $\frac{53 \cdot 3^x - 243}{3^{x+1} - 1} \ge 3^x$. Укажите наибольшее решение.

в) $2^x + \frac{2^{x+2} + 4}{2^x - 8} \ge 0$. Укажите наименьшее решение.

г) $4^x \le \frac{15 \cdot 4^x - 16}{4^{x+1} - 1}$. Укажите наибольшее решение.

а) Решим неравенство $4^x \ge \frac{2 \cdot 4^{x+1} + 16}{16 - 4^x}$.
Введем замену $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t \ge \frac{2 \cdot 4^x \cdot 4^1 + 16}{16 - 4^x} \Rightarrow t \ge \frac{8t + 16}{16 - t}$.
Область допустимых значений: $16 - t \ne 0 \Rightarrow t \ne 16$.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$t - \frac{8t + 16}{16 - t} \ge 0$
$\frac{t(16 - t) - (8t + 16)}{16 - t} \ge 0$
$\frac{16t - t^2 - 8t - 16}{16 - t} \ge 0$
$\frac{-t^2 + 8t - 16}{16 - t} \ge 0$
Вынесем минус из числителя:
$\frac{-(t^2 - 8t + 16)}{16 - t} \ge 0$
$\frac{-(t - 4)^2}{16 - t} \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{(t - 4)^2}{16 - t} \le 0$
Числитель $(t-4)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:
1. Числитель равен нулю: $(t - 4)^2 = 0 \Rightarrow t = 4$. Это решение, так как знаменатель $16 - 4 = 12 \ne 0$.
2. Числитель положителен (т.е. $t \ne 4$), а знаменатель отрицателен: $16 - t < 0 \Rightarrow t > 16$.
Таким образом, решения для $t$: $t=4$ или $t > 16$.
Вернемся к замене:
1. $4^x = 4 \Rightarrow x = 1$.
2. $4^x > 16 \Rightarrow 4^x > 4^2 \Rightarrow x > 2$.
Решением неравенства является объединение $\{1\} \cup (2, +\infty)$.
Наименьшее решение из этого множества — $1$.
Ответ: $1$

б) Решим неравенство $\frac{53 \cdot 3^x - 243}{3^{x+1} - 1} \ge 3^x$.
Введем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{53t - 243}{3t - 1} \ge t$.
Область допустимых значений: $3t - 1 \ne 0 \Rightarrow t \ne \frac{1}{3}$.
$\frac{53t - 243}{3t - 1} - t \ge 0$
$\frac{53t - 243 - t(3t - 1)}{3t - 1} \ge 0$
$\frac{53t - 243 - 3t^2 + t}{3t - 1} \ge 0$
$\frac{-3t^2 + 54t - 243}{3t - 1} \ge 0$
Вынесем $-3$ из числителя:
$\frac{-3(t^2 - 18t + 81)}{3t - 1} \ge 0$
$\frac{-3(t - 9)^2}{3t - 1} \ge 0$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства:
$\frac{(t - 9)^2}{3t - 1} \le 0$
Числитель $(t-9)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:
1. Числитель равен нулю: $(t - 9)^2 = 0 \Rightarrow t = 9$. Это решение, так как знаменатель $3(9) - 1 = 26 \ne 0$.
2. Числитель положителен (т.е. $t \ne 9$), а знаменатель отрицателен: $3t - 1 < 0 \Rightarrow t < \frac{1}{3}$.
Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{3}$.
Таким образом, решения для $t$: $t=9$ или $0 < t < \frac{1}{3}$.
Вернемся к замене:
1. $3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$.
2. $0 < 3^x < \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x < 3^{-1} \Rightarrow x < -1$.
Решением неравенства является объединение $(-\infty, -1) \cup \{2\}$.
Наибольшее решение из этого множества — $2$.
Ответ: $2$

в) Решим неравенство $2^x + \frac{2^{x+2} + 4}{2^x - 8} \ge 0$.
Введем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t + \frac{4t + 4}{t - 8} \ge 0$.
Область допустимых значений: $t - 8 \ne 0 \Rightarrow t \ne 8$.
$\frac{t(t - 8) + (4t + 4)}{t - 8} \ge 0$
$\frac{t^2 - 8t + 4t + 4}{t - 8} \ge 0$
$\frac{t^2 - 4t + 4}{t - 8} \ge 0$
$\frac{(t - 2)^2}{t - 8} \ge 0$
Числитель $(t-2)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет больше или равна нулю в двух случаях:
1. Числитель равен нулю: $(t - 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$. Это решение, так как знаменатель $2-8 = -6 \ne 0$.
2. Числитель положителен (т.е. $t \ne 2$), а знаменатель положителен: $t - 8 > 0 \Rightarrow t > 8$.
Таким образом, решения для $t$: $t=2$ или $t > 8$.
Вернемся к замене:
1. $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.
2. $2^x > 8 \Rightarrow 2^x > 2^3 \Rightarrow x > 3$.
Решением неравенства является объединение $\{1\} \cup (3, +\infty)$.
Наименьшее решение из этого множества — $1$.
Ответ: $1$

г) Решим неравенство $4^x \le \frac{15 \cdot 4^x - 16}{4^{x+1} - 1}$.
Введем замену $t = 4^x$, где $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t \le \frac{15t - 16}{4t - 1}$.
Область допустимых значений: $4t - 1 \ne 0 \Rightarrow t \ne \frac{1}{4}$.
$t - \frac{15t - 16}{4t - 1} \le 0$
$\frac{t(4t - 1) - (15t - 16)}{4t - 1} \le 0$
$\frac{4t^2 - t - 15t + 16}{4t - 1} \le 0$
$\frac{4t^2 - 16t + 16}{4t - 1} \le 0$
$\frac{4(t^2 - 4t + 4)}{4t - 1} \le 0$
$\frac{4(t - 2)^2}{4t - 1} \le 0$
Разделим обе части на 4:
$\frac{(t - 2)^2}{4t - 1} \le 0$
Числитель $(t-2)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:
1. Числитель равен нулю: $(t - 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$. Это решение, так как знаменатель $4(2) - 1 = 7 \ne 0$.
2. Числитель положителен (т.е. $t \ne 2$), а знаменатель отрицателен: $4t - 1 < 0 \Rightarrow t < \frac{1}{4}$.
Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{4}$.
Таким образом, решения для $t$: $t=2$ или $0 < t < \frac{1}{4}$.
Вернемся к замене:
1. $4^x = 2 \Rightarrow (2^2)^x = 2^1 \Rightarrow 2^{2x} = 2^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
2. $0 < 4^x < \frac{1}{4} \Rightarrow 4^x < 4^{-1} \Rightarrow x < -1$.
Решением неравенства является объединение $(-\infty, -1) \cup \{\frac{1}{2}\}$.
Наибольшее решение из этого множества — $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

Логарифмические неравенства

Решите неравенство (163—168):

163 a) $\log_2 x > 1$;

б) $\log_3 x > 1$;

в) $\log_3 x < 1$;

г) $\log_4 x < 1$;

д) $\log_3 x > 0$;

е) $\log_5 x < 0$.

а) Решим неравенство $log_2 x > 1$.

1. Первым шагом найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

2. Представим число $1$ в виде логарифма с основанием $2$. Используем определение логарифма: $1 = log_2(2^1) = log_2(2)$.

3. Теперь неравенство можно переписать в виде: $log_2 x > log_2(2)$.

4. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = log_2(x)$ является возрастающей. Это означает, что для больших значений аргумента функция принимает большие значения. Поэтому мы можем перейти от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов, сохранив знак неравенства: $x > 2$.

5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:
$ \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} $
Решением этой системы является $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $log_3 x > 1$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $1$ как логарифм по основанию $3$: $1 = log_3(3)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_3 x > log_3(3)$.

4. Основание $3 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастает. Знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x > 3$.

5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение: $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $log_3 x < 1$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $1$ как логарифм по основанию $3$: $1 = log_3(3)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_3 x < log_3(3)$.

4. Основание $3 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется: $x < 3$.

5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Получаем систему:
$ \begin{cases} x < 3 \\ x > 0 \end{cases} $
Решением является интервал $0 < x < 3$.

Ответ: $x \in (0; 3)$.

г) Решим неравенство $log_4 x < 1$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $1$ как логарифм по основанию $4$: $1 = log_4(4)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_4 x < log_4(4)$.

4. Основание $4 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется: $x < 4$.

5. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 4$.

Ответ: $x \in (0; 4)$.

д) Решим неравенство $log_3 x > 0$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $0$ как логарифм по основанию $3$: $0 = log_3(3^0) = log_3(1)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_3 x > log_3(1)$.

4. Основание $3 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение: $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

е) Решим неравенство $log_5 x < 0$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Представим $0$ как логарифм по основанию $5$: $0 = log_5(5^0) = log_5(1)$.

3. Неравенство принимает вид: $log_5 x < log_5(1)$.

4. Основание $5 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется: $x < 1$.

5. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

164 а) $\log_{\frac{1}{2}} x > 1$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} x > 1$;

в) $\log_{\frac{1}{3}} x < 1$;

г) $\log_{\frac{1}{4}} x < 1$;

д) $\log_{\frac{1}{3}} x > 0$;

е) $\log_{\frac{1}{5}} x < 0$.

Для решения данных логарифмических неравенств используется свойство монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$ из неравенства $\log_a x_1 > \log_a x_2$ следует $x_1 < x_2$ (знак неравенства меняется на противоположный). Во всех задачах необходимо также учитывать область допустимых значений (ОДЗ), согласно которой аргумент логарифма должен быть строго положительным ($x > 0$).

а) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x > 1$.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$: $1 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$.
4. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x < \frac{1}{2}$.
5. Учитывая ОДЗ, получаем систему: $\begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases}$.
Решением является интервал $0 < x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $0 < x < \frac{1}{2}$.

б) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > 1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $1$ как логарифм с основанием $\frac{1}{3}$: $1 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.
4. Основание $a = \frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x < \frac{1}{3}$.
5. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < \frac{1}{3}$.
Ответ: $0 < x < \frac{1}{3}$.

в) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x < 1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $1$ как логарифм с основанием $\frac{1}{3}$: $1 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.
4. Основание $a = \frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x > \frac{1}{3}$.
5. Условие $x > \frac{1}{3}$ уже включает в себя ОДЗ ($x > 0$), так как если число больше $\frac{1}{3}$, оно автоматически больше нуля.
Ответ: $x > \frac{1}{3}$.

г) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{4}} x < 1$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $1$ как логарифм с основанием $\frac{1}{4}$: $1 = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{4}} x < \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$.
4. Основание $a = \frac{1}{4} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x > \frac{1}{4}$.
5. Условие $x > \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x > \frac{1}{4}$.

д) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > 0$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $0$ как логарифм с основанием $\frac{1}{3}$: $0 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} 1$.
4. Основание $a = \frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x < 1$.
5. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < 1$.
Ответ: $0 < x < 1$.

е) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{5}} x < 0$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим $0$ как логарифм с основанием $\frac{1}{5}$: $0 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^0 = \log_{\frac{1}{5}} 1$.
3. Неравенство: $\log_{\frac{1}{5}} x < \log_{\frac{1}{5}} 1$.
4. Основание $a = \frac{1}{5} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $x > 1$.
5. Условие $x > 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x > 1$.

165 a) $\log_2 \log_3 x > 0;$

б) $\log_3 \log_{\frac{1}{2}} x > 0;$

в) $\log_{\frac{1}{2}} \log_3 x > 0;$

г) $\log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} x > 0.$

а) Для решения неравенства $\log_2 \log_3 x > 0$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент внешнего логарифма, $\log_3 x$, должен быть строго больше нуля: $\log_3 x > 0$. Так как основание логарифма $3 > 1$, это неравенство равносильно $x > 3^0$, то есть $x > 1$. Это условие также обеспечивает, что аргумент внутреннего логарифма $x$ положителен. Теперь решим само неравенство. Так как основание внешнего логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и мы можем убрать логарифм, сохранив знак неравенства: $\log_3 x > 2^0$, что равносильно $\log_3 x > 1$. Для решения этого неравенства, снова обращаем внимание на основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 3^1$, то есть $x > 3$. Учитывая ОДЗ ($x>1$), окончательное решение — это пересечение условий $x > 1$ и $x > 3$, что дает $x > 3$.
Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_3 \log_{\frac{1}{2}} x > 0$. Сначала найдем ОДЗ. Аргумент внутреннего логарифма: $x>0$. Аргумент внешнего логарифма: $\log_{\frac{1}{2}} x > 0$. Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при решении этого неравенства знак меняется на противоположный: $x < (\frac{1}{2})^0$, то есть $x < 1$. Таким образом, ОДЗ: $0 < x < 1$. Теперь решаем исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $3 > 1$, поэтому функция возрастающая и знак неравенства сохраняется: $\log_{\frac{1}{2}} x > 3^0$, что дает $\log_{\frac{1}{2}} x > 1$. При решении этого неравенства, учитываем, что основание $\frac{1}{2} < 1$, поэтому знак неравенства меняется: $x < (\frac{1}{2})^1$, то есть $x < \frac{1}{2}$. Объединяя результат с ОДЗ ($0 < x < 1$), получаем итоговое решение $0 < x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (0, \frac{1}{2})$.

в) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} \log_3 x > 0$. ОДЗ определяется условиями: $x > 0$ и $\log_3 x > 0$. Второе неравенство, так как основание $3>1$, дает $x > 3^0$, то есть $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x > 1$. Теперь решаем само неравенство. Основание внешнего логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный: $\log_3 x < (\frac{1}{2})^0$, что равносильно $\log_3 x < 1$. Для решения этого неравенства, так как основание $3 > 1$, знак не меняется: $x < 3^1$, то есть $x < 3$. Совмещая полученный результат с ОДЗ ($x>1$), находим пересечение интервалов: $1 < x < 3$.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

г) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} x > 0$. Найдем ОДЗ. Требуется, чтобы $x > 0$ и $\log_{\frac{1}{3}} x > 0$. Так как основание $\frac{1}{3} < 1$, функция убывающая, и для решения второго неравенства знак меняется на противоположный: $x < (\frac{1}{3})^0$, то есть $x < 1$. Таким образом, ОДЗ: $0 < x < 1$. Теперь решаем исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется: $\log_{\frac{1}{3}} x < (\frac{1}{2})^0$, что дает $\log_{\frac{1}{3}} x < 1$. Для решения этого неравенства, так как основание $\frac{1}{3} < 1$, знак снова меняется на противоположный: $x > (\frac{1}{3})^1$, то есть $x > \frac{1}{3}$. Объединяя результат с ОДЗ ($0 < x < 1$), получаем окончательное решение $ \frac{1}{3} < x < 1$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, 1)$.

166 a) $ \log_2 \log_3 x < 0; $

б) $ \log_3 \log_{\frac{1}{2}} x < 0; $

в) $ \log_{\frac{1}{2}} \log_3 x < 0; $

г) $ \log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} x < 0. $

а) $ \log_{2} \log_{3} x < 0 $

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргументы логарифмов должны быть положительными, что определяет область допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: $ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{3} x > 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство системы: $ \log_{3} x > \log_{3} 1 $. Так как основание $ 3 > 1 $, то $ x > 1 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (1; +\infty) $.
Теперь решим исходное неравенство. Представим 0 как $ \log_{2} 1 $:
$ \log_{2} (\log_{3} x) < \log_{2} 1 $
Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$ \log_{3} x < 1 $
Представим 1 как $ \log_{3} 3 $:
$ \log_{3} x < \log_{3} 3 $
Так как основание $ 3 > 1 $, то $ x < 3 $.
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \end{cases} \implies 1 < x < 3 $.
Ответ: $ x \in (1; 3) $.

б) $ \log_{3} \log_{\frac{1}{2}} x < 0 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x > 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство системы: $ \log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} 1 $. Так как основание $ \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $ x < 1 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0; 1) $.
Решаем исходное неравенство: $ \log_{3} (\log_{\frac{1}{2}} x) < \log_{3} 1 $.
Так как основание $ 3 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ \log_{\frac{1}{2}} x < 1 $
Представим 1 как $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} $:
$ \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} $
Так как основание $ \frac{1}{2} < 1 $, знак неравенства меняется на противоположный: $ x > \frac{1}{2} $.
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \implies \frac{1}{2} < x < 1 $.
Ответ: $ x \in (\frac{1}{2}; 1) $.

в) $ \log_{\frac{1}{2}} \log_{3} x < 0 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{3} x > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства $ \log_{3} x > \log_{3} 1 $ получаем $ x > 1 $, так как основание $ 3 > 1 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (1; +\infty) $.
Решаем исходное неравенство: $ \log_{\frac{1}{2}} (\log_{3} x) < \log_{\frac{1}{2}} 1 $.
Так как основание $ \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства меняется:
$ \log_{3} x > 1 $
Представим 1 как $ \log_{3} 3 $:
$ \log_{3} x > \log_{3} 3 $
Так как основание $ 3 > 1 $, знак неравенства сохраняется: $ x > 3 $.
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 1 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3 $.
Ответ: $ x \in (3; +\infty) $.

г) $ \log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} x < 0 $

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{3}} x > 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $ \log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} 1 $. Так как основание $ \frac{1}{3} < 1 $, знак неравенства меняется: $ x < 1 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0; 1) $.
Решаем исходное неравенство: $ \log_{\frac{1}{2}} (\log_{\frac{1}{3}} x) < \log_{\frac{1}{2}} 1 $.
Так как основание $ \frac{1}{2} < 1 $, знак неравенства меняется:
$ \log_{\frac{1}{3}} x > 1 $
Представим 1 как $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} $:
$ \log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} $
Так как основание $ \frac{1}{3} < 1 $, знак неравенства снова меняется: $ x < \frac{1}{3} $.
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x < \frac{1}{3} \end{cases} \implies 0 < x < \frac{1}{3} $.
Ответ: $ x \in (0; \frac{1}{3}) $.

167 a) $4 \log_4 x - \frac{33}{\log_4 x} \le 1;$

б) $\log_2 x - \frac{2}{\log_2 x} \ge 1;$

в) $\log_7 x + \frac{1}{\log_7 x} > 2;$

г) $\log_5 x + \frac{2}{\log_5 x} < 3.$

а) $4 \log_4 x - \frac{33}{\log_4 x} \le 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$. Знаменатель не может быть равен нулю: $\log_4 x \neq 0$, что означает $x \neq 4^0$, то есть $x \neq 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство принимает вид:

$4t - \frac{33}{t} \le 1$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$4t - 1 - \frac{33}{t} \le 0$

$\frac{4t^2 - t - 33}{t} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя. Корень знаменателя: $t = 0$. Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $4t^2 - t - 33 = 0$:
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 528 = 529 = 23^2$.
$t_1 = \frac{1 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-22}{8} = -\frac{11}{4}$.
$t_2 = \frac{1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.

Отметим точки $t = -11/4$, $t=0$, $t=3$ на числовой оси. Точки $-11/4$ и $3$ включаем (закрашенные), так как неравенство нестрогое, а точку $0$ исключаем (выколотая), так как она из знаменателя. Проверяя знаки на интервалах, получаем решение для $t$: $t \in (-\infty, -11/4] \cup (0, 3]$.

Выполним обратную замену:

1) $t \le -11/4 \implies \log_4 x \le -11/4$. Так как основание логарифма $4 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x \le 4^{-11/4}$. Упростим: $4^{-11/4} = (2^2)^{-11/4} = 2^{-11/2} = \frac{1}{2^{5.5}} = \frac{1}{32\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{64}$. Итак, $x \le \frac{\sqrt{2}}{64}$.

2) $0 < t \le 3 \implies 0 < \log_4 x \le 3$. Так как основание $4 > 1$: $4^0 < x \le 4^3 \implies 1 < x \le 64$.

Объединим полученные решения с учетом ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$. Из первого случая, с учетом $x > 0$, получаем $0 < x \le \frac{\sqrt{2}}{64}$. Второй случай $1 < x \le 64$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (0, \frac{\sqrt{2}}{64}] \cup (1, 64]$.

б) $\log_2 x - \frac{2}{\log_2 x} \ge 1$

ОДЗ: $x > 0$ и $\log_2 x \neq 0 \implies x \neq 1$. Итак, $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид:

$t - \frac{2}{t} \ge 1$

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{t^2 - t - 2}{t} \ge 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Корень знаменателя: $t=0$. Корни числителя $t^2 - t - 2 = 0$ по теореме Виета равны $t_1 = -1$, $t_2 = 2$. Неравенство можно записать как $\frac{(t+1)(t-2)}{t} \ge 0$.

Методом интервалов для $t$ с точками $-1, 0, 2$ (где $-1$ и $2$ включены, а $0$ исключен) получаем решение: $t \in [-1, 0) \cup [2, \infty)$.

Выполняем обратную замену:

1) $-1 \le t < 0 \implies -1 \le \log_2 x < 0$. Так как основание $2 > 1$: $2^{-1} \le x < 2^0 \implies \frac{1}{2} \le x < 1$.

2) $t \ge 2 \implies \log_2 x \ge 2$. Так как основание $2 > 1$: $x \ge 2^2 \implies x \ge 4$.

Оба интервала удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in [1/2, 1) \cup [4, \infty)$.

в) $\log_7 x + \frac{1}{\log_7 x} > 2$

ОДЗ: $x > 0$ и $\log_7 x \neq 0 \implies x \neq 1$. Итак, $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Пусть $t = \log_7 x$. Неравенство примет вид:

$t + \frac{1}{t} > 2$

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{t^2 - 2t + 1}{t} > 0$

$\frac{(t-1)^2}{t} > 0$

Числитель $(t-1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $t=1$. Так как неравенство строгое, числитель не может быть равен нулю, значит $t \neq 1$. При $t \neq 1$ числитель $(t-1)^2$ всегда положителен. Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть положителен: $t > 0$. Таким образом, решение для $t$: $t > 0$ и $t \neq 1$, то есть $t \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Выполняем обратную замену:

1) $0 < t < 1 \implies 0 < \log_7 x < 1$. Так как основание $7 > 1$: $7^0 < x < 7^1 \implies 1 < x < 7$.

2) $t > 1 \implies \log_7 x > 1$. Так как основание $7 > 1$: $x > 7^1 \implies x > 7$.

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (1, 7) \cup (7, \infty)$.

г) $\log_5 x + \frac{2}{\log_5 x} < 3$

ОДЗ: $x > 0$ и $\log_5 x \neq 0 \implies x \neq 1$. Итак, $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Пусть $t = \log_5 x$. Неравенство примет вид:

$t + \frac{2}{t} < 3$

Переносим все в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{t^2 - 3t + 2}{t} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Корень знаменателя: $t=0$. Корни числителя $t^2 - 3t + 2 = 0$ по теореме Виета равны $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Неравенство можно записать как $\frac{(t-1)(t-2)}{t} < 0$.

Методом интервалов для $t$ с точками $0, 1, 2$ (все точки выколоты, так как неравенство строгое) получаем решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (1, 2)$.

Выполняем обратную замену:

1) $t < 0 \implies \log_5 x < 0$. Так как основание $5 > 1$: $x < 5^0 \implies x < 1$.

2) $1 < t < 2 \implies 1 < \log_5 x < 2$. Так как основание $5 > 1$: $5^1 < x < 5^2 \implies 5 < x < 25$.

Учитываем ОДЗ $x > 0$. Из первого случая получаем $0 < x < 1$. Второй случай $5 < x < 25$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (5, 25)$.

168 a) $\frac{1}{\log_2 x - 4} > \frac{1}{\log_2 x};$

б) $\frac{1}{\log_3 x - 2} \ge \frac{1}{\log_3 x};$

В) $\frac{1}{3 + \log_4 x} < \frac{1}{\log_4 x};$

г) $\frac{1}{1 - \log_{0,5} x} \le -\frac{1}{\log_{0,5} x}.$

a) Решим неравенство $\frac{1}{\log_2 x - 4} > \frac{1}{\log_2 x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.
Знаменатели не должны равняться нулю:
$\log_2 x - 4 \neq 0 \implies \log_2 x \neq 4 \implies x \neq 2^4 \implies x \neq 16$.
$\log_2 x \neq 0 \implies x \neq 2^0 \implies x \neq 1$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 16) \cup (16, \infty)$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{t - 4} > \frac{1}{t}$.

3. Решим полученное рациональное неравенство.
$\frac{1}{t - 4} - \frac{1}{t} > 0$
$\frac{t - (t - 4)}{t(t - 4)} > 0$
$\frac{4}{t(t - 4)} > 0$
Так как числитель $4 > 0$, то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть больше нуля:
$t(t - 4) > 0$
Корни уравнения $t(t-4)=0$ равны $t=0$ и $t=4$. Методом интервалов находим решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной.
Получаем совокупность двух неравенств:
$\log_2 x < 0$ или $\log_2 x > 4$.
Решаем первое: $\log_2 x < \log_2 1$. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x < 1$.
Решаем второе: $\log_2 x > \log_2 16$. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x > 16$.

5. Учтем ОДЗ.
Пересекая решение $x < 1$ с ОДЗ ($x>0$), получаем $x \in (0, 1)$.
Пересекая решение $x > 16$ с ОДЗ, получаем $x \in (16, \infty)$.
Объединяем полученные интервалы.
Ответ: $x \in (0, 1) \cup (16, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{1}{\log_3 x - 2} \ge \frac{1}{\log_3 x}$.

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$.
$\log_3 x - 2 \neq 0 \implies \log_3 x \neq 2 \implies x \neq 3^2 \implies x \neq 9$.
$\log_3 x \neq 0 \implies x \neq 3^0 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 9) \cup (9, \infty)$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \log_3 x$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{t - 2} \ge \frac{1}{t}$.

3. Решим рациональное неравенство.
$\frac{1}{t - 2} - \frac{1}{t} \ge 0$
$\frac{t - (t - 2)}{t(t - 2)} \ge 0$
$\frac{2}{t(t - 2)} \ge 0$
Так как числитель $2 > 0$, то знаменатель должен быть строго больше нуля (не может быть равен нулю):
$t(t - 2) > 0$
Корни: $t=0, t=2$. Решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной.
$\log_3 x < 0$ или $\log_3 x > 2$.
$\log_3 x < \log_3 1 \implies x < 1$ (основание $3>1$).
$\log_3 x > \log_3 9 \implies x > 9$ (основание $3>1$).

5. Учтем ОДЗ.
Пересекая $x < 1$ с ОДЗ ($x>0$), получаем $x \in (0, 1)$.
Пересекая $x > 9$ с ОДЗ, получаем $x \in (9, \infty)$.
Объединяем решения.
Ответ: $x \in (0, 1) \cup (9, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{1}{3 + \log_4 x} < \frac{1}{\log_4 x}$.

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$.
$3 + \log_4 x \neq 0 \implies \log_4 x \neq -3 \implies x \neq 4^{-3} \implies x \neq \frac{1}{64}$.
$\log_4 x \neq 0 \implies x \neq 4^0 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (0, 1/64) \cup (1/64, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{3 + t} < \frac{1}{t}$.

3. Решим рациональное неравенство.
$\frac{1}{t + 3} - \frac{1}{t} < 0$
$\frac{t - (t + 3)}{t(t + 3)} < 0$
$\frac{-3}{t(t + 3)} < 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{3}{t(t + 3)} > 0$
Числитель $3>0$, значит $t(t + 3) > 0$.
Корни: $t=0, t=-3$. Решение: $t \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной.
$\log_4 x < -3$ или $\log_4 x > 0$.
$\log_4 x < \log_4 4^{-3} \implies x < \frac{1}{64}$ (основание $4>1$).
$\log_4 x > \log_4 1 \implies x > 1$ (основание $4>1$).

5. Учтем ОДЗ.
Пересекая $x < 1/64$ с ОДЗ ($x>0$), получаем $x \in (0, 1/64)$.
Пересекая $x > 1$ с ОДЗ, получаем $x \in (1, \infty)$.
Объединяем решения.
Ответ: $x \in (0, \frac{1}{64}) \cup (1, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{1}{1 - \log_{0.5} x} \le -\frac{1}{\log_{0.5} x}$.

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$.
$1 - \log_{0.5} x \neq 0 \implies \log_{0.5} x \neq 1 \implies x \neq 0.5^1 \implies x \neq 0.5$.
$\log_{0.5} x \neq 0 \implies x \neq 0.5^0 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (0, 0.5) \cup (0.5, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \log_{0.5} x$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{1 - t} \le -\frac{1}{t}$.

3. Решим рациональное неравенство.
$\frac{1}{1 - t} + \frac{1}{t} \le 0$
$\frac{t + (1 - t)}{t(1 - t)} \le 0$
$\frac{1}{t(1 - t)} \le 0$
Так как числитель $1 > 0$, то знаменатель должен быть строго меньше нуля:
$t(1 - t) < 0$
Умножим на -1 и сменим знак: $t(t-1) > 0$.
Корни: $t=0, t=1$. Решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной.
$\log_{0.5} x < 0$ или $\log_{0.5} x > 1$.
Решаем первое: $\log_{0.5} x < \log_{0.5} 1$. Так как основание $0.5 \in (0, 1)$, знак неравенства меняется: $x > 1$.
Решаем второе: $\log_{0.5} x > \log_{0.5} 0.5$. Так как основание $0.5 \in (0, 1)$, знак неравенства меняется: $x < 0.5$.

5. Учтем ОДЗ.
Пересекая $x > 1$ с ОДЗ, получаем $x \in (1, \infty)$.
Пересекая $x < 0.5$ с ОДЗ ($x>0$), получаем $x \in (0, 0.5)$.
Объединяем решения.
Ответ: $x \in (0, 0.5) \cup (1, \infty)$.

169 Найдите наибольшее целое решение неравенства:

а) $\frac{\log_{0.3} (x + 1)}{\log_{0.3} 100 - \log_{0.3} 9} < 1;$

б) $\frac{\log_{0.2} (x + 1.5)}{\log_{0.2} 100 - \log_{0.2} 4} < 1.$

а)

Решим неравенство: $$ \frac{\log_{0,3}(x+1)}{\log_{0,3}100 - \log_{0,3}9} < 1 $$ Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$ x + 1 > 0 \implies x > -1 $$ Теперь упростим знаменатель дроби, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$: $$ \log_{0,3}100 - \log_{0,3}9 = \log_{0,3}\left(\frac{100}{9}\right) $$ Определим знак знаменателя. Основание логарифма $a = 0,3$, где $0 < 0,3 < 1$. Аргумент $b = \frac{100}{9} > 1$. Для логарифмической функции с основанием меньше 1, если аргумент больше 1, значение логарифма отрицательно. Следовательно, $\log_{0,3}\left(\frac{100}{9}\right) < 0$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{\log_{0,3}(x+1)}{\log_{0,3}(100/9)} < 1 $$ Умножим обе части неравенства на знаменатель $\log_{0,3}\left(\frac{100}{9}\right)$. Так как это число отрицательное, знак неравенства изменится на противоположный: $$ \log_{0,3}(x+1) > \log_{0,3}\left(\frac{100}{9}\right) $$ Теперь решим полученное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $0,3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства снова меняется на противоположный: $$ x+1 < \frac{100}{9} $$ $$ x < \frac{100}{9} - 1 $$ $$ x < \frac{100 - 9}{9} $$ $$ x < \frac{91}{9} $$ Переведем дробь в смешанное число: $\frac{91}{9} = 10\frac{1}{9}$. Таким образом, $x < 10\frac{1}{9}$. Объединим это решение с ОДЗ ($x > -1$): $$ -1 < x < 10\frac{1}{9} $$ Нам нужно найти наибольшее целое решение. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 10.

Ответ: 10.

б)

Решим неравенство: $$ \frac{\log_{0,2}(x+1,5)}{\log_{0,2}100 - \log_{0,2}4} < 1 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ x + 1,5 > 0 \implies x > -1,5 $$ Упростим знаменатель: $$ \log_{0,2}100 - \log_{0,2}4 = \log_{0,2}\left(\frac{100}{4}\right) = \log_{0,2}25 $$ Определим знак знаменателя. Основание логарифма $a = 0,2$, где $0 < 0,2 < 1$. Аргумент $b = 25 > 1$. Следовательно, знаменатель $\log_{0,2}25$ отрицателен. Можно также вычислить его точное значение: $\log_{0,2}25 = \log_{1/5}5^2 = 2 \log_{5^{-1}}5 = -2\log_5 5 = -2$. Подставим значение знаменателя в исходное неравенство: $$ \frac{\log_{0,2}(x+1,5)}{-2} < 1 $$ Умножим обе части на -2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: $$ \log_{0,2}(x+1,5) > -2 $$ Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,2: $$ -2 = -2 \cdot \log_{0,2}0,2 = \log_{0,2}((0,2)^{-2}) = \log_{0,2}\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\right) = \log_{0,2}(5^2) = \log_{0,2}25 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{0,2}(x+1,5) > \log_{0,2}25 $$ Поскольку основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный: $$ x+1,5 < 25 $$ $$ x < 25 - 1,5 $$ $$ x < 23,5 $$ Объединим это решение с ОДЗ ($x > -1,5$): $$ -1,5 < x < 23,5 $$ Наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, это 23.

Ответ: 23.