Страница 377 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

119 а) Рассматриваются геометрические прогрессии, у каждой из которых первый член равен $10$, сумма первого и третьего членов — целое число, кратное $4$ и не превосходящее $1000$, а знаменатель $q > 1$. Укажите знаменатели всех таких прогрессий.

б) Рассматриваются геометрические прогрессии, у каждой из которых третий член равен $8$, сумма первого и второго членов — целое число, кратное $5$ и не превосходящее $500$, а знаменатель $0 < q < 1$. Укажите знаменатели всех таких прогрессий.

а)

Пусть $b_1, b_2, b_3, \dots$ – члены геометрической прогрессии, а $q$ – её знаменатель. По условию, первый член прогрессии $b_1 = 10$, а знаменатель $q > 1$.

Сумма первого и третьего членов равна $S = b_1 + b_3$. Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, находим третий член: $b_3 = b_1 q^2 = 10q^2$. Тогда сумма $S = 10 + 10q^2 = 10(1 + q^2)$.

Согласно условию, сумма $S$ является целым числом, кратным четырём, и не превосходит 1000. Запишем эти условия в виде системы неравенств и свойств:

1. $S$ – целое число.
2. $S \le 1000$.
3. $S$ кратно 4, то есть $S = 4k$ для некоторого целого $k$.

Из выражения $S = 10(1 + q^2)$ следует, что $S$ делится на 10. Поскольку $S$ должно быть кратно и 4, и 10, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному, то есть НОК(4, 10) = 20. Таким образом, $S$ должно быть числом, кратным 20.

Также, по условию $q > 1$, следовательно, $q^2 > 1$. Тогда $1 + q^2 > 2$, и $S = 10(1 + q^2) > 10 \cdot 2 = 20$. Итак, мы ищем значения $S$, которые удовлетворяют условиям: $S$ кратно 20 и $20 < S \le 1000$. Это означает, что $S$ может принимать значения из множества $\{40, 60, 80, \dots, 1000\}$.

Для каждого такого значения $S$ мы можем найти соответствующее значение $q^2$: $S = 10(1 + q^2) \implies \frac{S}{10} = 1 + q^2 \implies q^2 = \frac{S}{10} - 1$. Так как $q>1$, мы ищем положительный корень: $q = \sqrt{\frac{S}{10} - 1}$.

Подставим возможные значения $S$:

• Если $S=40$, то $q^2 = \frac{40}{10} - 1 = 3$. Тогда $q = \sqrt{3}$.
• Если $S=60$, то $q^2 = \frac{60}{10} - 1 = 5$. Тогда $q = \sqrt{5}$.
• Если $S=80$, то $q^2 = \frac{80}{10} - 1 = 7$. Тогда $q = \sqrt{7}$.
• ...
• Если $S=1000$, то $q^2 = \frac{1000}{10} - 1 = 99$. Тогда $q = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$.

Таким образом, $q^2$ может быть любым нечётным целым числом от 3 до 99 включительно. Знаменатели $q$ всех таких прогрессий образуют множество $\{\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \dots, \sqrt{99}\}$.

Ответ: $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \dots, \sqrt{99}$ (или, что то же самое, $\sqrt{n}$, где $n$ — любое нечётное целое число от 3 до 99).

б)

По условию, третий член геометрической прогрессии $b_3 = 8$, а знаменатель $q$ удовлетворяет неравенству $0 < q < 1$.

Выразим первый и второй члены прогрессии через $b_3$ и $q$: $b_3 = b_1 q^2 \implies b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{8}{q^2}$. $b_2 = b_1 q = \frac{8}{q^2} \cdot q = \frac{8}{q}$.

Сумма первого и второго членов $S = b_1 + b_2 = \frac{8}{q^2} + \frac{8}{q} = \frac{8(1+q)}{q^2}$. По условию, $S$ — целое число, кратное пяти, и $S \le 500$. Поскольку $q>0$, то $S>0$. Значит, $S$ может принимать значения из множества $\{5, 10, 15, \dots, 500\}$.

Так как $b_3=8$ (рациональное число) и $S=b_1+b_2$ (целое, а значит рациональное число), то знаменатель $q$ также должен быть рациональным числом. Представим $q$ в виде несократимой дроби $q = \frac{p}{r}$, где $p$ и $r$ — натуральные числа. Из условия $0 < q < 1$ следует, что $p < r$.

Подставим $q = \frac{p}{r}$ в выражение для $S$: $S = \frac{8(1 + p/r)}{(p/r)^2} = \frac{8 \cdot \frac{r+p}{r}}{p^2/r^2} = \frac{8r(r+p)}{p^2}$. Поскольку $S$ — целое число, $p^2$ должен делить числитель $8r(r+p)$. Дробь $\frac{p}{r}$ несократима, значит НОД$(p, r)=1$. Отсюда следует, что НОД$(p, r+p) = $ НОД$(p,r)=1$. Так как $p$ взаимно просто с $r$ и с $r+p$, то $p^2$ также взаимно просто с $r$ и с $r+p$. Следовательно, для того чтобы $S$ было целым, $p^2$ должен делить 8. Целые квадраты, которые являются делителями числа 8, — это 1 и 4.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $p^2=1 \implies p=1$. Знаменатель $q = \frac{1}{r}$. Так как $p < r$, то $1 < r$. Сумма $S = \frac{8r(r+1)}{1^2} = 8r(r+1)$. $S$ должно быть кратно 5 и $S \le 500$. $8r(r+1) \le 500 \implies r(r+1) \le \frac{500}{8} = 62.5$. Так как 8 и 5 взаимно просты, то $r(r+1)$ должно быть кратно 5. Это возможно, если $r$ или $r+1$ кратно 5. Проверим целые значения $r > 1$, удовлетворяющие $r(r+1) \le 62.5$:

• $r=2: r(r+1) = 6$. Ни $r=2$, ни $r+1=3$ не кратны 5.
• $r=3: r(r+1) = 12$. Ни $r=3$, ни $r+1=4$ не кратны 5.
• $r=4: r(r+1) = 20$. $r+1=5$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{1}{4}$.
• $r=5: r(r+1) = 30$. $r=5$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{1}{5}$.
• $r=6: r(r+1) = 42$. Ни $r=6$, ни $r+1=7$ не кратны 5.
• $r=7: r(r+1) = 56$. Ни $r=7$, ни $r+1=8$ не кратны 5.
• $r=8: r(r+1) = 72 > 62.5$. Дальнейшие значения $r$ не подходят.

В этом случае получаем два решения: $q=\frac{1}{4}$ и $q=\frac{1}{5}$.

Случай 2: $p^2=4 \implies p=2$. Знаменатель $q = \frac{2}{r}$. Так как $p<r$, то $2<r$. Так как дробь несократима (НОД(2,r)=1), $r$ должно быть нечётным. Сумма $S = \frac{8r(r+2)}{2^2} = 2r(r+2)$. $S$ должно быть кратно 5 и $S \le 500$. $2r(r+2) \le 500 \implies r(r+2) \le 250$. Так как 2 и 5 взаимно просты, $r(r+2)$ должно быть кратно 5. Это возможно, если $r$ или $r+2$ кратно 5. Проверим нечётные значения $r > 2$, удовлетворяющие $r(r+2) \le 250$:

• $r=3: r(r+2) = 15$. $r+2=5$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{2}{3}$.
• $r=5: r(r+2) = 35$. $r=5$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{2}{5}$.
• $r=7: r(r+2) = 63$. Не кратно 5.
• $r=9: r(r+2) = 99$. Не кратно 5.
• $r=11$: $r(r+2) = 143$. Не кратно 5.
• $r=13: r(r+2) = 195$. $r+2=15$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{2}{13}$.
• $r=15$: $r$ кратно 5, но НОД(2,15) не равно 1. Не подходит, так как $q = 2/15$ — сократимая дробь, а мы рассматриваем $p=2$.
• $r=17: r(r+2) = 17 \cdot 19 = 323 > 250$. Дальнейшие значения не подходят.

В этом случае получаем три решения: $q=\frac{2}{3}$, $q=\frac{2}{5}$, $q=\frac{2}{13}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем все возможные знаменатели.

Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \frac{2}{13}$.

Логарифмы

Вычислите (120—126):

120

а) $6^{\log_{36} 81}$

б) $5^{\log_{25} 36}$

в) $2^{\log_{0,5} 3}$

a) Для вычисления выражения $6^{\log_{36} 81}$ воспользуемся свойствами логарифмов.
Основное логарифмическое тождество имеет вид $a^{\log_a b} = b$. Чтобы его применить, необходимо, чтобы основание степени (в нашем случае 6) совпадало с основанием логарифма (в нашем случае 36).
Приведем логарифм к основанию 6. Заметим, что $36 = 6^2$. Используем формулу для логарифма от основания в степени: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
$\log_{36} 81 = \log_{6^2} 81 = \frac{1}{2}\log_6 81$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$6^{\log_{36} 81} = 6^{\frac{1}{2}\log_6 81}$.
Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:
$6^{\frac{1}{2}\log_6 81} = 6^{\log_6 81^{\frac{1}{2}}}$.
Вычислим значение $81^{\frac{1}{2}}$:
$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$6^{\log_6 9}$.
Теперь, применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$6^{\log_6 9} = 9$.
Ответ: 9.

б) Для вычисления выражения $5^{\log_{25} 36}$ поступим аналогично предыдущему пункту.
Наша цель — привести основание логарифма (25) к основанию степени (5).
Представим основание логарифма 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$.
Воспользуемся формулой смены основания логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{25} 36 = \log_{5^2} 36 = \frac{1}{2}\log_5 36$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$5^{\log_{25} 36} = 5^{\frac{1}{2}\log_5 36}$.
Применим свойство степени логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:
$5^{\frac{1}{2}\log_5 36} = 5^{\log_5 36^{\frac{1}{2}}}$.
Вычислим значение $36^{\frac{1}{2}}$:
$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.
В результате выражение сводится к виду:
$5^{\log_5 6}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем ответ:
$5^{\log_5 6} = 6$.
Ответ: 6.

в) Рассмотрим выражение $2^{\log_{0.5} 3}$.
Как и в предыдущих примерах, приведем основание логарифма к основанию степени. Основание степени равно 2.
Представим основание логарифма 0,5 в виде степени числа 2:
$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Используем формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{0.5} 3 = \log_{2^{-1}} 3 = \frac{1}{-1}\log_2 3 = -\log_2 3$.
Подставим это в исходное выражение:
$2^{\log_{0.5} 3} = 2^{-\log_2 3}$.
Воспользуемся свойством $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:
$2^{-\log_2 3} = 2^{\log_2 3^{-1}}$.
Так как $3^{-1} = \frac{1}{3}$, выражение принимает вид:
$2^{\log_2 \frac{1}{3}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

120 a) $6$,

б) $3$,

В) $2$

121

a) $3^{\log_3 21} - 9^{0.5}$;

б) $81^{\frac{1}{\log_5 9}}$.

а) Вычислим значение выражения $3^{\log_3 21} - 9^{0,5}$.
Разобьем решение на два действия.

1. Для первого слагаемого $3^{\log_3 21}$ воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае $a = 3$ и $b = 21$. Следовательно, $3^{\log_3 21} = 21$.

2. Для второго слагаемого $9^{0,5}$ представим степень $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$. Возведение в степень $\frac{1}{2}$ эквивалентно извлечению квадратного корня. $9^{0,5} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

3. Теперь выполним вычитание: $21 - 3 = 18$.

Ответ: 18

б) Вычислим значение выражения $81^{\frac{1}{\log_5 9}}$.
Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство логарифмов $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$.

1. Применим это свойство к показателю степени: $\frac{1}{\log_5 9} = \log_9 5$.

2. Подставим полученное значение обратно в исходное выражение: $81^{\frac{1}{\log_5 9}} = 81^{\log_9 5}$.

3. Представим основание степени $81$ как степень числа $9$: $81 = 9^2$. Выражение примет вид: $(9^2)^{\log_9 5}$.

4. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим: $9^{2 \cdot \log_9 5}$.

5. Используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$, чтобы внести множитель $2$ под знак логарифма: $2 \log_9 5 = \log_9 5^2 = \log_9 25$.

6. Выражение теперь выглядит так: $9^{\log_9 25}$.

7. Снова применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $9^{\log_9 25} = 25$.

Ответ: 25

122 $log_4 25 - 2 log_4 5.$

Решение

Для вычисления значения данного выражения необходимо использовать свойства логарифмов. Исходное выражение: $ \log_{4} 25 - 2 \log_{4} 5 $.

1. Первым шагом воспользуемся свойством степени логарифма, которое гласит: $ n \cdot \log_{b} a = \log_{b} (a^n) $. Применим это свойство ко второму члену выражения $ 2 \log_{4} 5 $:

$ 2 \log_{4} 5 = \log_{4} (5^2) = \log_{4} 25 $.

2. Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение. Оно примет вид:

$ \log_{4} 25 - \log_{4} 25 $.

3. Выполним вычитание:

$ \log_{4} 25 - \log_{4} 25 = 0 $.

Таким образом, значение исходного выражения равно 0.

Ответ: 0

123 a) $\frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3,6 + 1}$;

б) $\frac{\lg 5 + \lg 4}{\lg 16 + \lg 25}$;

в) $\frac{\lg 12 - \lg 3}{\lg 8}$;

г) $\frac{\lg 16 + \lg 4}{\lg 48 - \lg 3}$;

д) $\frac{2 \lg 6 - \lg 3}{\lg 144}$;

е) $\frac{2 \lg 2 + \lg 3}{\lg 48 - \lg 4}$.

а) $\frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3,6 + 1}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся основными свойствами логарифмов:

• Свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$
• Свойство степени логарифма: $n \log_a x = \log_a (x^n)$
• Определение десятичного логарифма: $\lg 10 = 1$

Упростим числитель, применив свойство суммы логарифмов:

$\lg 2 + \lg 3 = \lg(2 \cdot 3) = \lg 6$.

Упростим знаменатель, представив $1$ как $\lg 10$ и применив свойство суммы логарифмов:

$\lg 3,6 + 1 = \lg 3,6 + \lg 10 = \lg(3,6 \cdot 10) = \lg 36$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь:

$\frac{\lg 6}{\lg 36}$

Заметим, что $36 = 6^2$. Применим свойство степени логарифма к знаменателю:

$\lg 36 = \lg(6^2) = 2 \lg 6$.

Подставим это в выражение и сократим:

$\frac{\lg 6}{2 \lg 6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\frac{\lg 5 + \lg 4}{\lg 16 + \lg 25}$

Применим свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ к числителю и знаменателю.

Упростим числитель:

$\lg 5 + \lg 4 = \lg(5 \cdot 4) = \lg 20$.

Упростим знаменатель:

$\lg 16 + \lg 25 = \lg(16 \cdot 25) = \lg 400$.

Получаем дробь:

$\frac{\lg 20}{\lg 400}$

Заметим, что $400 = 20^2$. Используя свойство степени логарифма $\log_a (x^n) = n \log_a x$, преобразуем знаменатель:

$\lg 400 = \lg(20^2) = 2 \lg 20$.

Подставим и сократим:

$\frac{\lg 20}{2 \lg 20} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $\frac{\lg 12 - \lg 3}{\lg 8}$

Для упрощения воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a (x / y)$ и свойством степени $\log_a (x^n) = n \log_a x$.

Упростим числитель:

$\lg 12 - \lg 3 = \lg(\frac{12}{3}) = \lg 4$.

Выражение принимает вид:

$\frac{\lg 4}{\lg 8}$

Представим числа 4 и 8 как степени числа 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Применим свойство степени логарифма:

$\lg 4 = \lg(2^2) = 2 \lg 2$.

$\lg 8 = \lg(2^3) = 3 \lg 2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{2 \lg 2}{3 \lg 2} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $\frac{\lg 16 + \lg 4}{\lg 48 - \lg 3}$

Используем свойство суммы логарифмов для числителя и свойство разности логарифмов для знаменателя.

Упростим числитель:

$\lg 16 + \lg 4 = \lg(16 \cdot 4) = \lg 64$.

Упростим знаменатель:

$\lg 48 - \lg 3 = \lg(\frac{48}{3}) = \lg 16$.

Дробь принимает вид:

$\frac{\lg 64}{\lg 16}$

Представим 64 и 16 как степени одного и того же числа, например, 4: $64 = 4^3$ и $16 = 4^2$.

Применим свойство степени логарифма:

$\lg 64 = \lg(4^3) = 3 \lg 4$.

$\lg 16 = \lg(4^2) = 2 \lg 4$.

Подставим и сократим:

$\frac{3 \lg 4}{2 \lg 4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

д) $\frac{2 \lg 6 - \lg 3}{\lg 144}$

Сначала упростим числитель, используя свойство степени логарифма $n \log_a x = \log_a (x^n)$ и свойство разности $\log_a x - \log_a y = \log_a (x / y)$.

$2 \lg 6 = \lg(6^2) = \lg 36$.

Тогда числитель становится:

$\lg 36 - \lg 3 = \lg(\frac{36}{3}) = \lg 12$.

Теперь рассмотрим знаменатель. Заметим, что $144 = 12^2$.

$\lg 144 = \lg(12^2) = 2 \lg 12$.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{\lg 12}{2 \lg 12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

е) $\frac{2 \lg 2 + \lg 3}{\lg 48 - \lg 4}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Для числителя применим свойство степени и свойство суммы логарифмов:

$2 \lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12$.

Для знаменателя применим свойство разности логарифмов:

$\lg 48 - \lg 4 = \lg(\frac{48}{4}) = \lg 12$.

Подставим полученные значения в дробь:

$\frac{\lg 12}{\lg 12} = 1$.

Ответ: $1$

124 a) $ \log_2 225 - \frac{2}{\log_5 2} - \log_2 9 + 5^{\frac{1}{\log_9 25}}; $

б) $ 6^{-\frac{1}{2} + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} - 2^{-\frac{1}{2} + \log_2 \frac{1}{2}}. $

а) $\log_2 225 - \frac{2}{\log_5 2} - \log_2 9 + 5^{\frac{1}{\log_9 25}}$

Для решения данного выражения, преобразуем его по частям.

1. Сгруппируем первые два логарифма с основанием 2: $\log_2 225 - \log_2 9$. Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_2 225 - \log_2 9 = \log_2 \frac{225}{9} = \log_2 25$.

2. Преобразуем второй член выражения $\frac{2}{\log_5 2}$. Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{2}{\log_5 2} = 2 \cdot \log_2 5$.

Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$2 \log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25$.

3. Теперь выражение выглядит так: $\log_2 25 - \log_2 25 + 5^{\frac{1}{\log_9 25}}$.

Первые два члена в сумме дают ноль: $\log_2 25 - \log_2 25 = 0$.

4. Преобразуем последний член $5^{\frac{1}{\log_9 25}}$. Сначала упростим показатель степени, используя ту же формулу $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{1}{\log_9 25} = \log_{25} 9$.

Теперь показатель степени можно упростить дальше, используя свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_5 3 = \log_5 3$.

5. Подставим упрощенный показатель в исходный член. Получим $5^{\log_5 3}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$5^{\log_5 3} = 3$.

6. Соберем все части вместе:

$(\log_2 225 - \log_2 9) - \frac{2}{\log_5 2} + 5^{\frac{1}{\log_9 25}} = \log_2 25 - \log_2 25 + 3 = 0 + 3 = 3$.

Ответ: 3

б) $6^{-\frac{1}{2} + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} - 2^{-\frac{1}{2} + \log_2 \frac{1}{2}}$

Для решения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и разделим каждый член на два множителя.

1. Преобразуем первый член $6^{-\frac{1}{2} + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}}$:

$6^{-\frac{1}{2} + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} = 6^{-\frac{1}{2}} \cdot 6^{\log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Вычислим каждый множитель:

$6^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{6^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $6^{\log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Перемножим полученные значения:

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

2. Преобразуем второй член $2^{-\frac{1}{2} + \log_2 \frac{1}{2}}$:

$2^{-\frac{1}{2} + \log_2 \frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\log_2 \frac{1}{2}}$.

Вычислим каждый множитель:

$2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

По основному логарифмическому тождеству, $2^{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Перемножим полученные значения:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

3. Выполним вычитание:

$\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0$.

Ответ: 0

125 a) $\log_6 4 + \log_6 9 + \log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2 + 5^{\log_5 2}$;

б) $\log_4 100 + \log_2 12 - 2 \log_2 \sqrt{30} + 3^{\log_3 4}$;

в) $\log_4 36 + \log_2 10 - 2 \log_2 \sqrt{15} + 4^{2^{\frac{1}{2}\log_2 5}}$.

а) $\log_6 4 + \log_6 9 + \log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2 + 5^{\log_5 2}$

Для решения этого выражения, разобьем его на части и упростим каждую из них.

1. Упростим сумму логарифмов $\log_6 4 + \log_6 9$. По свойству суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$:
$\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6(4 \cdot 9) = \log_6 36$.
Так как $6^2 = 36$, то $\log_6 36 = 2$.

2. Упростим произведение $\log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2$. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов, в частности, свойством $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$ и свойством $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ (или $\log_a b \cdot \log_b a = 1$):
$\log_4 6 = \log_{2^2} 6 = \frac{1}{2}\log_2 6$.
$\log_{\sqrt{6}} 2 = \log_{6^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2}\log_6 2 = 2\log_6 2$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(\frac{1}{2}\log_2 6) \cdot (2\log_6 2) = \log_2 6 \cdot \log_6 2 = 1$.

3. Упростим выражение $5^{\log_5 2}$. Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 2} = 2$.

4. Сложим все полученные значения:
$2 + 1 + 2 = 5$.

Ответ: 5

б) $\log_4 100 + \log_2 12 - 2 \log_2 \sqrt{30} + 3^{\log_3 4}$

Для решения приведем все логарифмы к одному основанию и используем их свойства.

1. Приведем $\log_4 100$ к основанию 2:
$\log_4 100 = \log_{2^2} 10^2 = \frac{2}{2}\log_2 10 = \log_2 10$.

2. Упростим выражение $2 \log_2 \sqrt{30}$. По свойству $k \log_a b = \log_a b^k$:
$2 \log_2 \sqrt{30} = \log_2((\sqrt{30})^2) = \log_2 30$.

3. Упростим выражение $3^{\log_3 4}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 4} = 4$.

4. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$\log_2 10 + \log_2 12 - \log_2 30 + 4$.
Объединим логарифмы, используя свойства суммы и разности логарифмов:
$\log_2(10 \cdot 12) - \log_2 30 + 4 = \log_2 120 - \log_2 30 + 4 = \log_2(\frac{120}{30}) + 4 = \log_2 4 + 4$.

5. Вычислим итоговое значение:
$\log_2 4 = 2$, следовательно $2 + 4 = 6$.

Ответ: 6

в) $\log_4 36 + \log_2 10 - 2 \log_2 \sqrt{15} + 4^{\frac{1}{2}\log_2 5}$

Решим по аналогии с предыдущими примерами, упрощая каждое слагаемое.

1. Приведем $\log_4 36$ к основанию 2:
$\log_4 36 = \log_{2^2} 6^2 = \frac{2}{2}\log_2 6 = \log_2 6$.

2. Упростим выражение $2 \log_2 \sqrt{15}$:
$2 \log_2 \sqrt{15} = \log_2((\sqrt{15})^2) = \log_2 15$.

3. Упростим выражение $4^{\frac{1}{2}\log_2 5}$. Воспользуемся свойствами степени:
$4^{\frac{1}{2}\log_2 5} = (4^{1/2})^{\log_2 5} = 2^{\log_2 5}$.
По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2 5} = 5$.

4. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$\log_2 6 + \log_2 10 - \log_2 15 + 5$.
Объединим логарифмы:
$\log_2(6 \cdot 10) - \log_2 15 + 5 = \log_2 60 - \log_2 15 + 5 = \log_2(\frac{60}{15}) + 5 = \log_2 4 + 5$.

5. Вычислим итоговое значение:
$\log_2 4 = 2$, следовательно $2 + 5 = 7$.

Ответ: 7

126 a) $5^{\log_{1/2} 5} + \log_{\sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{7}} + \log_{1/2} \frac{1}{10 + 2\sqrt{21}};$

б) $\frac{\left(9^{\log_3 \left(3 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)} - 25^{\log_5 \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2} - 1}}\right) \cdot 2^{\log_5 3\sqrt{5}}}{3^{\log_5 10}};$

в) $(\sqrt{3})^{-1 / \log_{64} (1/3)} + \frac{1}{4} \cdot \log_5 (12 - 2\sqrt{35}) - \log_{1/25} \frac{25}{\sqrt{7} - \sqrt{5}};$

г) $\frac{7^{\log_3 15}}{5^{\log_3 7 + \log_5 2}} + 3^{\log_{\sqrt{3}} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)} + 4^{\log_{1/2} \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 1}};$

д) $\frac{3^{\log_5 20}}{4^{\log_5 3 + \log_2 3}} + 25^{\log_5 \left(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)} + 2^{\log_{\sqrt{2}} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)};$

е) $\frac{\left(4^{\log_2 (5 - \sqrt{3})} - 7^{\log_{\sqrt{7}} (5 + \sqrt{3})}\right) \cdot 5^{\log_2 1.5}}{3^{\log_2 5\sqrt{2}}}.$

а) $5^{\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{2}} + \log_{\sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{10+2\sqrt{21}}$

Решим по частям:

1. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и свойства логарифмов, преобразуем первое слагаемое: $5^{\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{2}} = 5^{\log_{5^{-1}} 2^{-1}} = 5^{\frac{-1}{-1}\log_5 2} = 5^{\log_5 2} = 2$. Альтернативный способ: $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, тогда $5^{\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{5}} 5} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

2. Преобразуем второй и третий логарифмы.
Для второго слагаемого сначала упростим аргумент, рационализировав знаменатель: $\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.
Тогда $\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{7}-\sqrt{3}) = \log_{2^{1/2}} (\sqrt{7}-\sqrt{3}) = 2\log_2(\sqrt{7}-\sqrt{3})$.

3. Для третьего слагаемого: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{10+2\sqrt{21}} = \log_{2^{-1}} (10+2\sqrt{21})^{-1} = \log_2(10+2\sqrt{21})$.
Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом: $10+2\sqrt{21} = 7+3+2\sqrt{7 \cdot 3} = (\sqrt{7}+\sqrt{3})^2$.
Тогда $\log_2(10+2\sqrt{21}) = \log_2((\sqrt{7}+\sqrt{3})^2) = 2\log_2(\sqrt{7}+\sqrt{3})$.

4. Сумма второго и третьего слагаемых:
$2\log_2(\sqrt{7}-\sqrt{3}) + 2\log_2(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = 2(\log_2(\sqrt{7}-\sqrt{3}) + \log_2(\sqrt{7}+\sqrt{3})) = 2\log_2((\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})) = 2\log_2(7-3) = 2\log_2 4 = 2 \cdot 2 = 4$.

5. Итоговое значение выражения: $2 + 4 = 6$.

Ответ: 6.

б) $\frac{\left(9^{\log_3(3+\frac{1}{\sqrt{2}})} - 25^{\log_{\frac{1}{5}}\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}}\right) \cdot 2^{\log_5 3\sqrt{5}}}{3^{\log_5 10}}$

1. Упростим выражение в скобках в числителе:
$9^{\log_3(3+\frac{1}{\sqrt{2}})} = (3^2)^{\log_3(3+\frac{1}{\sqrt{2}})} = 3^{2\log_3(3+\frac{1}{\sqrt{2}})} = 3^{\log_3((3+\frac{1}{\sqrt{2}})^2)} = (3+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 9 + 3\sqrt{2} + \frac{1}{2}$.

$25^{\log_{\frac{1}{5}}\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}} = (5^2)^{\log_{5^{-1}}\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}} = 5^{2(-\log_5\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1})} = 5^{\log_5\left(\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}\right)^{-2}} = \left(\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \left(3-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 9 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 9 - 3\sqrt{2} + \frac{1}{2}$.

Разность: $\left(9 + 3\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(9 - 3\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = 6\sqrt{2}$.

2. Упростим второй множитель в числителе:
$2^{\log_5 3\sqrt{5}} = 2^{\log_5 3 + \log_5 \sqrt{5}} = 2^{\log_5 3 + 1/2} = 2^{\log_5 3} \cdot 2^{1/2} = \sqrt{2} \cdot 2^{\log_5 3}$.

3. Числитель равен: $6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^{\log_5 3} = 12 \cdot 2^{\log_5 3}$.

4. Упростим знаменатель:
$3^{\log_5 10} = 3^{\log_5(2 \cdot 5)} = 3^{\log_5 2 + \log_5 5} = 3^{\log_5 2 + 1} = 3 \cdot 3^{\log_5 2}$.

5. Итоговая дробь:
$\frac{12 \cdot 2^{\log_5 3}}{3 \cdot 3^{\log_5 2}}$. Используя свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, имеем $2^{\log_5 3} = 3^{\log_5 2}$.
$\frac{12 \cdot 2^{\log_5 3}}{3 \cdot 2^{\log_5 3}} = \frac{12}{3} = 4$.

Ответ: 4.

в) $(\sqrt[3]{3})^{\frac{-1}{\log_{64} \frac{1}{3}}} + \frac{1}{4} \cdot \log_5(12-2\sqrt{35}) - \log_{\frac{1}{25}}\frac{25}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

Решим по частям:

1. Первое слагаемое: $(\sqrt[3]{3})^{\frac{-1}{\log_{64} \frac{1}{3}}} = (3^{1/3})^{-\log_{\frac{1}{3}} 64} = (3^{1/3})^{-\log_{3^{-1}} 4^3} = (3^{1/3})^{-(-3)\log_{3} 4} = (3^{1/3})^{3\log_3 4} = 3^{\log_3 4} = 4$.

2. Второе слагаемое: $\frac{1}{4} \log_5(12-2\sqrt{35})$.
$12-2\sqrt{35} = 7+5-2\sqrt{7 \cdot 5} = (\sqrt{7}-\sqrt{5})^2$.
$\frac{1}{4} \log_5((\sqrt{7}-\sqrt{5})^2) = \frac{2}{4} \log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})$.

3. Третье слагаемое (вычитаемое): $\log_{\frac{1}{25}}\frac{25}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \log_{5^{-2}}\frac{25}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}\log_5\left(\frac{25}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\right)$.
$-\frac{1}{2}(\log_5 25 - \log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})) = -\frac{1}{2}(2 - \log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})) = -1 + \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})$.

4. Все выражение: $4 + \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5}) - \left(-1 + \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})\right) = 4 + \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5}) + 1 - \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = 5$.

Ответ: 5.

г) $\frac{7^{\log_3 15}}{5^{\log_3 7 + \log_5 2}} + 3^{\log_{\sqrt{3}}(2-\frac{1}{\sqrt{2}})} + 4^{\log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}}$

Предполагается, что в условии первого слагаемого сумма находится в показателе степени, т.е. $5^{(\log_3 7 + \log_5 2)}$.

1. Первое слагаемое:
Числитель: $7^{\log_3 15} = 7^{\log_3(3 \cdot 5)} = 7^{\log_3 3 + \log_3 5} = 7^{1+\log_3 5} = 7 \cdot 7^{\log_3 5}$.
Знаменатель: $5^{\log_3 7 + \log_5 2} = 5^{\log_3 7} \cdot 5^{\log_5 2} = 5^{\log_3 7} \cdot 2$.
Дробь: $\frac{7 \cdot 7^{\log_3 5}}{2 \cdot 5^{\log_3 7}}$. Используя $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, имеем $7^{\log_3 5} = 5^{\log_3 7}$.
$\frac{7 \cdot 5^{\log_3 7}}{2 \cdot 5^{\log_3 7}} = \frac{7}{2}$.

2. Второе слагаемое: $3^{\log_{\sqrt{3}}(2-\frac{1}{\sqrt{2}})} = 3^{2\log_3(2-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \left(2-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 4 - \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 4 - 2\sqrt{2} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} - 2\sqrt{2}$.

3. Третье слагаемое: $4^{\log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}} = ((\frac{1}{2})^{-2})^{\log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}\right)^{-2}} = \left(\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 4 + \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 4+2\sqrt{2}+\frac{1}{2} = \frac{9}{2} + 2\sqrt{2}$.

4. Сумма всех слагаемых: $\frac{7}{2} + \left(\frac{9}{2} - 2\sqrt{2}\right) + \left(\frac{9}{2} + 2\sqrt{2}\right) = \frac{7}{2} + \frac{18}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$.

Ответ: 12.5.

д) $\frac{3^{\log_5 20}}{4^{\log_5 3} + \log_2 3} + 25^{\log_5(2+\frac{1}{\sqrt{3}})} + 2^{\log_{\sqrt{2}}(2-\frac{1}{\sqrt{3}})}$

В первом слагаемом, вероятно, допущена опечатка. Наиболее вероятно, что выражение в знаменателе является показателем степени: $4^{(\log_5 3 + \log_2 3)}$. При таком условии задача имеет простое решение.

1. Первое слагаемое $\frac{3^{\log_5 20}}{4^{\log_5 3 + \log_2 3}}$:
Числитель: $3^{\log_5 20} = 3^{\log_5(4 \cdot 5)} = 3^{\log_5 4 + \log_5 5} = 3^{\log_5 4 + 1} = 3 \cdot 3^{\log_5 4}$.
Знаменатель: $4^{\log_5 3 + \log_2 3} = 4^{\log_5 3} \cdot 4^{\log_2 3}$.
$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 9$.
$4^{\log_5 3} = 3^{\log_5 4}$ по свойству $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$.
Знаменатель равен $3^{\log_5 4} \cdot 9$.
Дробь: $\frac{3 \cdot 3^{\log_5 4}}{9 \cdot 3^{\log_5 4}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

2. Второе слагаемое: $25^{\log_5(2+\frac{1}{\sqrt{3}})} = 5^{2\log_5(2+\frac{1}{\sqrt{3}})} = \left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

3. Третье слагаемое: $2^{\log_{\sqrt{2}}(2-\frac{1}{\sqrt{3}})} = 2^{2\log_2(2-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \left(2-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

4. Сумма всех слагаемых: $\frac{1}{3} + \left(\frac{13}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) + \left(\frac{13}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{26}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Ответ: 9.

е) $\frac{\left(4^{\log_2(5-\sqrt{3})} - 7^{\log_{\sqrt{7}}(5+\sqrt{3})}\right) \cdot 5^{\log_2 1.5}}{3^{\log_2 5\sqrt{2}}}$

1. Упростим выражение в скобках в числителе:
$4^{\log_2(5-\sqrt{3})} = (2^2)^{\log_2(5-\sqrt{3})} = 2^{2\log_2(5-\sqrt{3})} = (5-\sqrt{3})^2 = 25 - 10\sqrt{3} + 3 = 28 - 10\sqrt{3}$.

$7^{\log_{\sqrt{7}}(5+\sqrt{3})} = 7^{\log_{7^{1/2}}(5+\sqrt{3})} = 7^{2\log_7(5+\sqrt{3})} = (5+\sqrt{3})^2 = 25 + 10\sqrt{3} + 3 = 28 + 10\sqrt{3}$.

Разность: $(28 - 10\sqrt{3}) - (28 + 10\sqrt{3}) = -20\sqrt{3}$.

2. Упростим второй множитель в числителе:
$5^{\log_2 1.5} = 5^{\log_2 (3/2)} = 5^{\log_2 3 - \log_2 2} = 5^{\log_2 3 - 1} = \frac{5^{\log_2 3}}{5}$.

3. Числитель равен: $-20\sqrt{3} \cdot \frac{5^{\log_2 3}}{5} = -4\sqrt{3} \cdot 5^{\log_2 3}$.

4. Упростим знаменатель:
$3^{\log_2 5\sqrt{2}} = 3^{\log_2 5 + \log_2 \sqrt{2}} = 3^{\log_2 5 + 1/2} = 3^{\log_2 5} \cdot 3^{1/2} = \sqrt{3} \cdot 3^{\log_2 5}$.

5. Итоговая дробь:
$\frac{-4\sqrt{3} \cdot 5^{\log_2 3}}{\sqrt{3} \cdot 3^{\log_2 5}}$. Сокращаем $\sqrt{3}$ и используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, т.е. $5^{\log_2 3} = 3^{\log_2 5}$.
$\frac{-4 \cdot 3^{\log_2 5}}{3^{\log_2 5}} = -4$.

Ответ: -4.