Номер 126, страница 377 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Логарифмы - номер 126, страница 377.

Условие.

126 a) $5^{\log_{1/2} 5} + \log_{\sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{7}} + \log_{1/2} \frac{1}{10 + 2\sqrt{21}};$

б) $\frac{\left(9^{\log_3 \left(3 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)} - 25^{\log_5 \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2} - 1}}\right) \cdot 2^{\log_5 3\sqrt{5}}}{3^{\log_5 10}};$

в) $(\sqrt{3})^{-1 / \log_{64} (1/3)} + \frac{1}{4} \cdot \log_5 (12 - 2\sqrt{35}) - \log_{1/25} \frac{25}{\sqrt{7} - \sqrt{5}};$

г) $\frac{7^{\log_3 15}}{5^{\log_3 7 + \log_5 2}} + 3^{\log_{\sqrt{3}} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)} + 4^{\log_{1/2} \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 1}};$

д) $\frac{3^{\log_5 20}}{4^{\log_5 3 + \log_2 3}} + 25^{\log_5 \left(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)} + 2^{\log_{\sqrt{2}} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)};$

е) $\frac{\left(4^{\log_2 (5 - \sqrt{3})} - 7^{\log_{\sqrt{7}} (5 + \sqrt{3})}\right) \cdot 5^{\log_2 1.5}}{3^{\log_2 5\sqrt{2}}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $5^{\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{2}} + \log_{\sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{10+2\sqrt{21}}$

Решим по частям:

1. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и свойства логарифмов, преобразуем первое слагаемое: $5^{\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{2}} = 5^{\log_{5^{-1}} 2^{-1}} = 5^{\frac{-1}{-1}\log_5 2} = 5^{\log_5 2} = 2$. Альтернативный способ: $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, тогда $5^{\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{5}} 5} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

2. Преобразуем второй и третий логарифмы.
Для второго слагаемого сначала упростим аргумент, рационализировав знаменатель: $\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.
Тогда $\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{7}-\sqrt{3}) = \log_{2^{1/2}} (\sqrt{7}-\sqrt{3}) = 2\log_2(\sqrt{7}-\sqrt{3})$.

3. Для третьего слагаемого: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{10+2\sqrt{21}} = \log_{2^{-1}} (10+2\sqrt{21})^{-1} = \log_2(10+2\sqrt{21})$.
Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом: $10+2\sqrt{21} = 7+3+2\sqrt{7 \cdot 3} = (\sqrt{7}+\sqrt{3})^2$.
Тогда $\log_2(10+2\sqrt{21}) = \log_2((\sqrt{7}+\sqrt{3})^2) = 2\log_2(\sqrt{7}+\sqrt{3})$.

4. Сумма второго и третьего слагаемых:
$2\log_2(\sqrt{7}-\sqrt{3}) + 2\log_2(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = 2(\log_2(\sqrt{7}-\sqrt{3}) + \log_2(\sqrt{7}+\sqrt{3})) = 2\log_2((\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})) = 2\log_2(7-3) = 2\log_2 4 = 2 \cdot 2 = 4$.

5. Итоговое значение выражения: $2 + 4 = 6$.

Ответ: 6.

б) $\frac{\left(9^{\log_3(3+\frac{1}{\sqrt{2}})} - 25^{\log_{\frac{1}{5}}\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}}\right) \cdot 2^{\log_5 3\sqrt{5}}}{3^{\log_5 10}}$

1. Упростим выражение в скобках в числителе:
$9^{\log_3(3+\frac{1}{\sqrt{2}})} = (3^2)^{\log_3(3+\frac{1}{\sqrt{2}})} = 3^{2\log_3(3+\frac{1}{\sqrt{2}})} = 3^{\log_3((3+\frac{1}{\sqrt{2}})^2)} = (3+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 9 + 3\sqrt{2} + \frac{1}{2}$.

$25^{\log_{\frac{1}{5}}\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}} = (5^2)^{\log_{5^{-1}}\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}} = 5^{2(-\log_5\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1})} = 5^{\log_5\left(\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}\right)^{-2}} = \left(\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \left(3-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 9 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 9 - 3\sqrt{2} + \frac{1}{2}$.

Разность: $\left(9 + 3\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(9 - 3\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = 6\sqrt{2}$.

2. Упростим второй множитель в числителе:
$2^{\log_5 3\sqrt{5}} = 2^{\log_5 3 + \log_5 \sqrt{5}} = 2^{\log_5 3 + 1/2} = 2^{\log_5 3} \cdot 2^{1/2} = \sqrt{2} \cdot 2^{\log_5 3}$.

3. Числитель равен: $6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^{\log_5 3} = 12 \cdot 2^{\log_5 3}$.

4. Упростим знаменатель:
$3^{\log_5 10} = 3^{\log_5(2 \cdot 5)} = 3^{\log_5 2 + \log_5 5} = 3^{\log_5 2 + 1} = 3 \cdot 3^{\log_5 2}$.

5. Итоговая дробь:
$\frac{12 \cdot 2^{\log_5 3}}{3 \cdot 3^{\log_5 2}}$. Используя свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, имеем $2^{\log_5 3} = 3^{\log_5 2}$.
$\frac{12 \cdot 2^{\log_5 3}}{3 \cdot 2^{\log_5 3}} = \frac{12}{3} = 4$.

Ответ: 4.

в) $(\sqrt[3]{3})^{\frac{-1}{\log_{64} \frac{1}{3}}} + \frac{1}{4} \cdot \log_5(12-2\sqrt{35}) - \log_{\frac{1}{25}}\frac{25}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

Решим по частям:

1. Первое слагаемое: $(\sqrt[3]{3})^{\frac{-1}{\log_{64} \frac{1}{3}}} = (3^{1/3})^{-\log_{\frac{1}{3}} 64} = (3^{1/3})^{-\log_{3^{-1}} 4^3} = (3^{1/3})^{-(-3)\log_{3} 4} = (3^{1/3})^{3\log_3 4} = 3^{\log_3 4} = 4$.

2. Второе слагаемое: $\frac{1}{4} \log_5(12-2\sqrt{35})$.
$12-2\sqrt{35} = 7+5-2\sqrt{7 \cdot 5} = (\sqrt{7}-\sqrt{5})^2$.
$\frac{1}{4} \log_5((\sqrt{7}-\sqrt{5})^2) = \frac{2}{4} \log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})$.

3. Третье слагаемое (вычитаемое): $\log_{\frac{1}{25}}\frac{25}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \log_{5^{-2}}\frac{25}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}\log_5\left(\frac{25}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\right)$.
$-\frac{1}{2}(\log_5 25 - \log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})) = -\frac{1}{2}(2 - \log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})) = -1 + \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})$.

4. Все выражение: $4 + \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5}) - \left(-1 + \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5})\right) = 4 + \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5}) + 1 - \frac{1}{2}\log_5(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = 5$.

Ответ: 5.

г) $\frac{7^{\log_3 15}}{5^{\log_3 7 + \log_5 2}} + 3^{\log_{\sqrt{3}}(2-\frac{1}{\sqrt{2}})} + 4^{\log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}}$

Предполагается, что в условии первого слагаемого сумма находится в показателе степени, т.е. $5^{(\log_3 7 + \log_5 2)}$.

1. Первое слагаемое:
Числитель: $7^{\log_3 15} = 7^{\log_3(3 \cdot 5)} = 7^{\log_3 3 + \log_3 5} = 7^{1+\log_3 5} = 7 \cdot 7^{\log_3 5}$.
Знаменатель: $5^{\log_3 7 + \log_5 2} = 5^{\log_3 7} \cdot 5^{\log_5 2} = 5^{\log_3 7} \cdot 2$.
Дробь: $\frac{7 \cdot 7^{\log_3 5}}{2 \cdot 5^{\log_3 7}}$. Используя $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, имеем $7^{\log_3 5} = 5^{\log_3 7}$.
$\frac{7 \cdot 5^{\log_3 7}}{2 \cdot 5^{\log_3 7}} = \frac{7}{2}$.

2. Второе слагаемое: $3^{\log_{\sqrt{3}}(2-\frac{1}{\sqrt{2}})} = 3^{2\log_3(2-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \left(2-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 4 - \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 4 - 2\sqrt{2} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} - 2\sqrt{2}$.

3. Третье слагаемое: $4^{\log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}} = ((\frac{1}{2})^{-2})^{\log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}\right)^{-2}} = \left(\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 4 + \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 4+2\sqrt{2}+\frac{1}{2} = \frac{9}{2} + 2\sqrt{2}$.

4. Сумма всех слагаемых: $\frac{7}{2} + \left(\frac{9}{2} - 2\sqrt{2}\right) + \left(\frac{9}{2} + 2\sqrt{2}\right) = \frac{7}{2} + \frac{18}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$.

Ответ: 12.5.

д) $\frac{3^{\log_5 20}}{4^{\log_5 3} + \log_2 3} + 25^{\log_5(2+\frac{1}{\sqrt{3}})} + 2^{\log_{\sqrt{2}}(2-\frac{1}{\sqrt{3}})}$

В первом слагаемом, вероятно, допущена опечатка. Наиболее вероятно, что выражение в знаменателе является показателем степени: $4^{(\log_5 3 + \log_2 3)}$. При таком условии задача имеет простое решение.

1. Первое слагаемое $\frac{3^{\log_5 20}}{4^{\log_5 3 + \log_2 3}}$:
Числитель: $3^{\log_5 20} = 3^{\log_5(4 \cdot 5)} = 3^{\log_5 4 + \log_5 5} = 3^{\log_5 4 + 1} = 3 \cdot 3^{\log_5 4}$.
Знаменатель: $4^{\log_5 3 + \log_2 3} = 4^{\log_5 3} \cdot 4^{\log_2 3}$.
$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 9$.
$4^{\log_5 3} = 3^{\log_5 4}$ по свойству $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$.
Знаменатель равен $3^{\log_5 4} \cdot 9$.
Дробь: $\frac{3 \cdot 3^{\log_5 4}}{9 \cdot 3^{\log_5 4}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

2. Второе слагаемое: $25^{\log_5(2+\frac{1}{\sqrt{3}})} = 5^{2\log_5(2+\frac{1}{\sqrt{3}})} = \left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

3. Третье слагаемое: $2^{\log_{\sqrt{2}}(2-\frac{1}{\sqrt{3}})} = 2^{2\log_2(2-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \left(2-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

4. Сумма всех слагаемых: $\frac{1}{3} + \left(\frac{13}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) + \left(\frac{13}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{26}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Ответ: 9.

е) $\frac{\left(4^{\log_2(5-\sqrt{3})} - 7^{\log_{\sqrt{7}}(5+\sqrt{3})}\right) \cdot 5^{\log_2 1.5}}{3^{\log_2 5\sqrt{2}}}$

1. Упростим выражение в скобках в числителе:
$4^{\log_2(5-\sqrt{3})} = (2^2)^{\log_2(5-\sqrt{3})} = 2^{2\log_2(5-\sqrt{3})} = (5-\sqrt{3})^2 = 25 - 10\sqrt{3} + 3 = 28 - 10\sqrt{3}$.

$7^{\log_{\sqrt{7}}(5+\sqrt{3})} = 7^{\log_{7^{1/2}}(5+\sqrt{3})} = 7^{2\log_7(5+\sqrt{3})} = (5+\sqrt{3})^2 = 25 + 10\sqrt{3} + 3 = 28 + 10\sqrt{3}$.

Разность: $(28 - 10\sqrt{3}) - (28 + 10\sqrt{3}) = -20\sqrt{3}$.

2. Упростим второй множитель в числителе:
$5^{\log_2 1.5} = 5^{\log_2 (3/2)} = 5^{\log_2 3 - \log_2 2} = 5^{\log_2 3 - 1} = \frac{5^{\log_2 3}}{5}$.

3. Числитель равен: $-20\sqrt{3} \cdot \frac{5^{\log_2 3}}{5} = -4\sqrt{3} \cdot 5^{\log_2 3}$.

4. Упростим знаменатель:
$3^{\log_2 5\sqrt{2}} = 3^{\log_2 5 + \log_2 \sqrt{2}} = 3^{\log_2 5 + 1/2} = 3^{\log_2 5} \cdot 3^{1/2} = \sqrt{3} \cdot 3^{\log_2 5}$.

5. Итоговая дробь:
$\frac{-4\sqrt{3} \cdot 5^{\log_2 3}}{\sqrt{3} \cdot 3^{\log_2 5}}$. Сокращаем $\sqrt{3}$ и используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$, т.е. $5^{\log_2 3} = 3^{\log_2 5}$.
$\frac{-4 \cdot 3^{\log_2 5}}{3^{\log_2 5}} = -4$.

Ответ: -4.