Номер 130, страница 378 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмы. Задания для повторения - номер 130, страница 378.

130 a) $\log_{b^3 \sqrt[7]{a^5}} \left( \frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}} \right)$, если $\log_b a = \sqrt{3}$;

б) $\log_{d^4 \sqrt[5]{c^6}} \left( \frac{c\sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}} \right)$, если $\log_d c = \sqrt{5}$.

а)

Для решения данной задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_x y = \frac{log_z y}{log_z x}$. В качестве нового основания $z$ выберем $b$.

Исходное выражение: $log_{b^3 \sqrt[7]{a^5}} (\frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}})$.

Применяя формулу перехода к основанию $b$, получаем:

$log_{b^3 \sqrt[7]{a^5}} (\frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}}) = \frac{log_b(\frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}})}{log_b(b^3 \sqrt[7]{a^5})}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

Числитель:

$log_b(\frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}}) = log_b(\frac{a^{1/7}}{b \cdot b^{1/2}}) = log_b(\frac{a^{1/7}}{b^{3/2}})$

Используя свойство логарифма частного $log_k(\frac{m}{n}) = log_k m - log_k n$:

$log_b(a^{1/7}) - log_b(b^{3/2})$

Используя свойство логарифма степени $log_k m^p = p \cdot log_k m$:

$\frac{1}{7}log_b a - \frac{3}{2}log_b b = \frac{1}{7}log_b a - \frac{3}{2}$, так как $log_b b = 1$.

Знаменатель:

$log_b(b^3 \sqrt[7]{a^5}) = log_b(b^3 \cdot a^{5/7})$

Используя свойство логарифма произведения $log_k(mn) = log_k m + log_k n$:

$log_b(b^3) + log_b(a^{5/7})$

Используя свойство логарифма степени:

$3log_b b + \frac{5}{7}log_b a = 3 + \frac{5}{7}log_b a$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\frac{1}{7}log_b a - \frac{3}{2}}{3 + \frac{5}{7}log_b a}$

По условию задачи $log_b a = \sqrt{3}$. Подставим это значение в выражение:

$\frac{\frac{1}{7}\sqrt{3} - \frac{3}{2}}{3 + \frac{5}{7}\sqrt{3}}$

Упростим полученное многоэтажное дробное выражение, умножив числитель и знаменатель на общий знаменатель внутренних дробей, то есть на 14:

$\frac{14(\frac{\sqrt{3}}{7} - \frac{3}{2})}{14(3 + \frac{5\sqrt{3}}{7})} = \frac{14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{7} - 14 \cdot \frac{3}{2}}{14 \cdot 3 + 14 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{7}} = \frac{2\sqrt{3} - 21}{42 + 10\sqrt{3}}$

Полученное выражение и является окончательным ответом.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3} - 21}{42 + 10\sqrt{3}}$

б)

Решение этого примера аналогично предыдущему. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма, выбрав в качестве нового основания $d$.

Исходное выражение: $log_{d^4 \sqrt[5]{c^6}} (\frac{c \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}})$.

Применяя формулу перехода к основанию $d$, получаем:

$log_{d^4 \sqrt[5]{c^6}} (\frac{c \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}}) = \frac{log_d(\frac{c \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}})}{log_d(d^4 \sqrt[5]{c^6})}$

Преобразуем числитель и знаменатель.

Числитель:

$log_d(\frac{c \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}}) = log_d(\frac{c \cdot c^{1/3}}{d^{1/5}}) = log_d(\frac{c^{4/3}}{d^{1/5}})$

$= log_d(c^{4/3}) - log_d(d^{1/5}) = \frac{4}{3}log_d c - \frac{1}{5}log_d d = \frac{4}{3}log_d c - \frac{1}{5}$.

Знаменатель:

$log_d(d^4 \sqrt[5]{c^6}) = log_d(d^4 \cdot c^{6/5})$

$= log_d(d^4) + log_d(c^{6/5}) = 4log_d d + \frac{6}{5}log_d c = 4 + \frac{6}{5}log_d c$.

Подставим преобразованные части обратно:

$\frac{\frac{4}{3}log_d c - \frac{1}{5}}{4 + \frac{6}{5}log_d c}$

По условию $log_d c = \sqrt{5}$. Подставим это значение:

$\frac{\frac{4}{3}\sqrt{5} - \frac{1}{5}}{4 + \frac{6}{5}\sqrt{5}}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на 15:

$\frac{15(\frac{4\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{5})}{15(4 + \frac{6\sqrt{5}}{5})} = \frac{15 \cdot \frac{4\sqrt{5}}{3} - 15 \cdot \frac{1}{5}}{15 \cdot 4 + 15 \cdot \frac{6\sqrt{5}}{5}} = \frac{5 \cdot 4\sqrt{5} - 3}{60 + 3 \cdot 6\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5} - 3}{60 + 18\sqrt{5}}$

Это и есть конечный результат.

Ответ: $\frac{20\sqrt{5} - 3}{60 + 18\sqrt{5}}$