Номер 123, страница 377 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Логарифмы - номер 123, страница 377.

Условие.

123 a) $\frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3,6 + 1}$;

б) $\frac{\lg 5 + \lg 4}{\lg 16 + \lg 25}$;

в) $\frac{\lg 12 - \lg 3}{\lg 8}$;

г) $\frac{\lg 16 + \lg 4}{\lg 48 - \lg 3}$;

д) $\frac{2 \lg 6 - \lg 3}{\lg 144}$;

е) $\frac{2 \lg 2 + \lg 3}{\lg 48 - \lg 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3,6 + 1}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся основными свойствами логарифмов:

• Свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$
• Свойство степени логарифма: $n \log_a x = \log_a (x^n)$
• Определение десятичного логарифма: $\lg 10 = 1$

Упростим числитель, применив свойство суммы логарифмов:

$\lg 2 + \lg 3 = \lg(2 \cdot 3) = \lg 6$.

Упростим знаменатель, представив $1$ как $\lg 10$ и применив свойство суммы логарифмов:

$\lg 3,6 + 1 = \lg 3,6 + \lg 10 = \lg(3,6 \cdot 10) = \lg 36$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь:

$\frac{\lg 6}{\lg 36}$

Заметим, что $36 = 6^2$. Применим свойство степени логарифма к знаменателю:

$\lg 36 = \lg(6^2) = 2 \lg 6$.

Подставим это в выражение и сократим:

$\frac{\lg 6}{2 \lg 6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\frac{\lg 5 + \lg 4}{\lg 16 + \lg 25}$

Применим свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ к числителю и знаменателю.

Упростим числитель:

$\lg 5 + \lg 4 = \lg(5 \cdot 4) = \lg 20$.

Упростим знаменатель:

$\lg 16 + \lg 25 = \lg(16 \cdot 25) = \lg 400$.

Получаем дробь:

$\frac{\lg 20}{\lg 400}$

Заметим, что $400 = 20^2$. Используя свойство степени логарифма $\log_a (x^n) = n \log_a x$, преобразуем знаменатель:

$\lg 400 = \lg(20^2) = 2 \lg 20$.

Подставим и сократим:

$\frac{\lg 20}{2 \lg 20} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $\frac{\lg 12 - \lg 3}{\lg 8}$

Для упрощения воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a (x / y)$ и свойством степени $\log_a (x^n) = n \log_a x$.

Упростим числитель:

$\lg 12 - \lg 3 = \lg(\frac{12}{3}) = \lg 4$.

Выражение принимает вид:

$\frac{\lg 4}{\lg 8}$

Представим числа 4 и 8 как степени числа 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Применим свойство степени логарифма:

$\lg 4 = \lg(2^2) = 2 \lg 2$.

$\lg 8 = \lg(2^3) = 3 \lg 2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{2 \lg 2}{3 \lg 2} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $\frac{\lg 16 + \lg 4}{\lg 48 - \lg 3}$

Используем свойство суммы логарифмов для числителя и свойство разности логарифмов для знаменателя.

Упростим числитель:

$\lg 16 + \lg 4 = \lg(16 \cdot 4) = \lg 64$.

Упростим знаменатель:

$\lg 48 - \lg 3 = \lg(\frac{48}{3}) = \lg 16$.

Дробь принимает вид:

$\frac{\lg 64}{\lg 16}$

Представим 64 и 16 как степени одного и того же числа, например, 4: $64 = 4^3$ и $16 = 4^2$.

Применим свойство степени логарифма:

$\lg 64 = \lg(4^3) = 3 \lg 4$.

$\lg 16 = \lg(4^2) = 2 \lg 4$.

Подставим и сократим:

$\frac{3 \lg 4}{2 \lg 4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

д) $\frac{2 \lg 6 - \lg 3}{\lg 144}$

Сначала упростим числитель, используя свойство степени логарифма $n \log_a x = \log_a (x^n)$ и свойство разности $\log_a x - \log_a y = \log_a (x / y)$.

$2 \lg 6 = \lg(6^2) = \lg 36$.

Тогда числитель становится:

$\lg 36 - \lg 3 = \lg(\frac{36}{3}) = \lg 12$.

Теперь рассмотрим знаменатель. Заметим, что $144 = 12^2$.

$\lg 144 = \lg(12^2) = 2 \lg 12$.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{\lg 12}{2 \lg 12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

е) $\frac{2 \lg 2 + \lg 3}{\lg 48 - \lg 4}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Для числителя применим свойство степени и свойство суммы логарифмов:

$2 \lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12$.

Для знаменателя применим свойство разности логарифмов:

$\lg 48 - \lg 4 = \lg(\frac{48}{4}) = \lg 12$.

Подставим полученные значения в дробь:

$\frac{\lg 12}{\lg 12} = 1$.

Ответ: $1$