Номер 129, страница 378 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмы. Задания для повторения - номер 129, страница 378.

Вычислите (129–130):

129

а) $\log_{b^2} (a^2b^2)$, если $\log_a b = 2$;

б) $\log_{b^3} (a^3b^3)$, если $\log_a b = 3$;

в) $\log_{b^4} (a^4b^4)$, если $\log_a b = 4$;

г) $\log_{b^5} (a^5b^5)$, если $\log_a b = 5$.

а) Требуется вычислить $ \log_{b^2}(a^2b^2) $, если известно, что $ \log_a b = 2 $.

Сначала преобразуем логарифмическое выражение. Используя свойство степеней $x^n y^n = (xy)^n$, получаем:

$ \log_{b^2}(a^2b^2) = \log_{b^2}((ab)^2) $.

Далее воспользуемся свойством логарифма $ \log_{x^k}(y^k) = \log_x y $:

$ \log_{b^2}((ab)^2) = \log_b(ab) $.

Теперь применим свойство логарифма произведения $ \log_x(MN) = \log_x M + \log_x N $:

$ \log_b(ab) = \log_b a + \log_b b $.

Поскольку $ \log_b b = 1 $, выражение упрощается до $ \log_b a + 1 $.

Из условия задачи нам дано, что $ \log_a b = 2 $. Чтобы найти $ \log_b a $, воспользуемся свойством $ \log_y x = \frac{1}{\log_x y} $:

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{2} $.

Подставим найденное значение в наше выражение и вычислим результат:

$ \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

б) Требуется вычислить $ \log_{b^3}(a^3b^3) $, если известно, что $ \log_a b = 3 $.

Преобразуем выражение, используя те же свойства, что и в предыдущем пункте:

$ \log_{b^3}(a^3b^3) = \log_{b^3}((ab)^3) = \log_b(ab) $.

Раскроем логарифм произведения:

$ \log_b(ab) = \log_b a + \log_b b = \log_b a + 1 $.

Из условия $ \log_a b = 3 $ находим $ \log_b a $:

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{3} $.

Подставляем значение и получаем результат:

$ \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} $.

Ответ: $ \frac{4}{3} $.

в) Требуется вычислить $ \log_{b^4}(a^4b^4) $, если известно, что $ \log_a b = 4 $.

Упростим данное выражение по аналогии с предыдущими примерами:

$ \log_{b^4}(a^4b^4) = \log_{b^4}((ab)^4) = \log_b(ab) $.

Применяя свойство логарифма произведения, получаем:

$ \log_b(ab) = \log_b a + \log_b b = \log_b a + 1 $.

Из условия $ \log_a b = 4 $ находим $ \log_b a $:

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{4} $.

Вычисляем конечный результат:

$ \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} $.

Ответ: $ \frac{5}{4} $.

г) Требуется вычислить $ \log_{b^5}(a^5b^5) $, если известно, что $ \log_a b = 5 $.

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

$ \log_{b^5}(a^5b^5) = \log_{b^5}((ab)^5) = \log_b(ab) $.

Раскладываем логарифм на сумму логарифмов:

$ \log_b(ab) = \log_b a + \log_b b = \log_b a + 1 $.

Из условия $ \log_a b = 5 $ находим $ \log_b a $:

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{5} $.

Подставляем и вычисляем итоговое значение:

$ \frac{1}{5} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{5}{5} = \frac{6}{5} $.

Ответ: $ \frac{6}{5} $.