Номер 134, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 134, страница 379.

134 а) $2^{x+1} + 2^x = 6;$

В) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56;$

Д) $3^{x+1} + 4 \cdot 3^{x-1} = 39;$

б) $3^{x+1} - 3^x = 6;$

Г) $3^{x+1} + 2 \cdot 3^{x-1} = 11;$

е) $3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-1} = 45.$

а) $2^{x+1} + 2^x = 6$

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать уравнение:

$2^x \cdot 2^1 + 2^x = 6$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(2+1) = 6$

$2^x \cdot 3 = 6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$2^x = \frac{6}{3}$

$2^x = 2$

Так как $2 = 2^1$, получаем:

$2^x = 2^1$

Следовательно, $x=1$.

Ответ: $x=1$

б) $3^{x+1} - 3^x = 6$

Преобразуем $3^{x+1}$ как $3^x \cdot 3^1$:

$3^x \cdot 3 - 3^x = 6$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(3-1) = 6$

$3^x \cdot 2 = 6$

Разделим обе части на 2:

$3^x = \frac{6}{2}$

$3^x = 3$

Так как $3 = 3^1$, то $x=1$.

Ответ: $x=1$

в) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 56$

Используя свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{2^1} + \frac{2^x}{2^2} = 56$

$2^x + \frac{2^x}{2} + \frac{2^x}{4} = 56$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 56$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$2^x(\frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 56$

$2^x \cdot \frac{7}{4} = 56$

Выразим $2^x$:

$2^x = 56 \cdot \frac{4}{7}$

$2^x = 8 \cdot 4$

$2^x = 32$

Представим 32 как степень двойки: $32 = 2^5$.

$2^x = 2^5$

Следовательно, $x=5$.

Ответ: $x=5$

г) $3^{x+1} + 2 \cdot 3^{x-1} = 11$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней:

$3^x \cdot 3^1 + 2 \cdot \frac{3^x}{3^1} = 11$

$3 \cdot 3^x + \frac{2}{3} \cdot 3^x = 11$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(3 + \frac{2}{3}) = 11$

$3^x(\frac{9}{3} + \frac{2}{3}) = 11$

$3^x \cdot \frac{11}{3} = 11$

Выразим $3^x$:

$3^x = 11 \cdot \frac{3}{11}$

$3^x = 3$

Так как $3 = 3^1$, то $x=1$.

Ответ: $x=1$

д) $3^{x+1} + 4 \cdot 3^{x-1} = 39$

Преобразуем уравнение:

$3^x \cdot 3 + 4 \cdot \frac{3^x}{3} = 39$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(3 + \frac{4}{3}) = 39$

$3^x(\frac{9}{3} + \frac{4}{3}) = 39$

$3^x \cdot \frac{13}{3} = 39$

Выразим $3^x$:

$3^x = 39 \cdot \frac{3}{13}$

$3^x = 3 \cdot 3$

$3^x = 9$

Представим 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.

$3^x = 3^2$

Следовательно, $x=2$.

Ответ: $x=2$

е) $3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-1} = 45$

Преобразуем уравнение:

$3^x \cdot 3 - 4 \cdot \frac{3^x}{3} = 45$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(3 - \frac{4}{3}) = 45$

$3^x(\frac{9}{3} - \frac{4}{3}) = 45$

$3^x \cdot \frac{5}{3} = 45$

Выразим $3^x$:

$3^x = 45 \cdot \frac{3}{5}$

$3^x = 9 \cdot 3$

$3^x = 27$

Представим 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.

$3^x = 3^3$

Следовательно, $x=3$.

Ответ: $x=3$