Номер 141, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 141, страница 379.

141 a) $4^x + \frac{6}{4^{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}} = 4;$

б) $\frac{1}{2} + 16^x = \frac{6}{16^{\frac{1}{2} + x}}.$

а) $4^x + \frac{6}{4^{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}} = 4$

Сначала преобразуем знаменатель второго слагаемого, используя свойства степеней: $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{mn} = (a^m)^n$.

$4^{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{-\frac{x}{2}} = \sqrt{4} \cdot (2^2)^{-\frac{x}{2}} = 2 \cdot 2^{-x} = \frac{2}{2^x}$.

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$4^x + \frac{6}{\frac{2}{2^x}} = 4$

Упростим второе слагаемое:

$4^x + \frac{6 \cdot 2^x}{2} = 4$

$4^x + 3 \cdot 2^x = 4$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет нам свести уравнение к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, $y > 0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 + 3y = 4$

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -3$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -4$. Корни легко подбираются:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Для $y_1 = 1$:

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

2. Для $y_2 = -4$:

$2^x = -4$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Проверка: подставим $x=0$ в исходное уравнение.

$4^0 + \frac{6}{4^{\frac{1}{2} - \frac{0}{2}}} = 1 + \frac{6}{4^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{6}{2} = 1 + 3 = 4$.

$4 = 4$. Равенство верное.

Ответ: $x=0$.

б) $\frac{1}{2} + 16^x = \frac{6}{16^{\frac{1}{2} + x}}$

Преобразуем знаменатель в правой части уравнения, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$16^{\frac{1}{2} + x} = 16^{\frac{1}{2}} \cdot 16^x = \sqrt{16} \cdot 16^x = 4 \cdot 16^x$.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$\frac{1}{2} + 16^x = \frac{6}{4 \cdot 16^x}$

$\frac{1}{2} + 16^x = \frac{3}{2 \cdot 16^x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 16^x$. Так как $16^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.

Уравнение с новой переменной:

$\frac{1}{2} + y = \frac{3}{2y}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $2y$ (это возможно, так как $y > 0$, следовательно $y \neq 0$):

$2y \cdot (\frac{1}{2} + y) = 2y \cdot \frac{3}{2y}$

$y + 2y^2 = 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2y^2 + y - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь вернемся к переменной $x$.

1. Для $y_1 = 1$:

$16^x = 1$

$16^x = 16^0$

$x = 0$

2. Для $y_2 = -\frac{3}{2}$:

$16^x = -\frac{3}{2}$

Уравнение не имеет действительных корней, так как $16^x$ всегда больше нуля. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Проверка: подставим $x=0$ в исходное уравнение.

Левая часть: $\frac{1}{2} + 16^0 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

Правая часть: $\frac{6}{16^{\frac{1}{2} + 0}} = \frac{6}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$. Равенство верное.

Ответ: $x=0$.