Номер 138, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 138, страница 379.

138 a) $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315;$

б) $81^{x-1} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} + \left(\frac{1}{3^x}\right)^{-2} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 0.$

а)

Дано показательное уравнение: $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315$.

Для решения приведем все слагаемые в левой части к общему основанию степени. В данном случае это уже сделано, основание равно 3. Вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем будет степень с наименьшим показателем, то есть $3^{2x-4}$.

Представим каждое слагаемое в виде произведения с множителем $3^{2x-4}$:

$3^{2x-1} = 3^{(2x-4)+3} = 3^{2x-4} \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^{2x-4}$

$3^{2x-2} = 3^{(2x-4)+2} = 3^{2x-4} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2x-4}$

$3^{2x-4} = 1 \cdot 3^{2x-4}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$27 \cdot 3^{2x-4} + 9 \cdot 3^{2x-4} - 1 \cdot 3^{2x-4} = 315$

Вынесем $3^{2x-4}$ за скобки:

$3^{2x-4}(27 + 9 - 1) = 315$

Выполним вычисления в скобках:

$3^{2x-4} \cdot 35 = 315$

Разделим обе части уравнения на 35:

$3^{2x-4} = \frac{315}{35}$

$3^{2x-4} = 9$

Представим 9 в виде степени с основанием 3:

$3^{2x-4} = 3^2$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x - 4 = 2$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

б)

Дано уравнение: $81^{x-1} \cdot (\frac{1}{3})^{-4} + (\frac{1}{3^x})^{-2} + 2 \cdot (-\frac{1}{9}) \cdot (\frac{1}{3})^{-3} = 0$.

Упростим каждый член уравнения, приведя все степени к основанию 3.

Упростим первый член: $81^{x-1} \cdot (\frac{1}{3})^{-4}$.

$81 = 3^4$, поэтому $81^{x-1} = (3^4)^{x-1} = 3^{4(x-1)} = 3^{4x-4}$.

$(\frac{1}{3})^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^{(-1) \cdot (-4)} = 3^4$.

Тогда первый член равен: $3^{4x-4} \cdot 3^4 = 3^{4x-4+4} = 3^{4x}$.

Упростим второй член: $(\frac{1}{3^x})^{-2}$.

$(\frac{1}{3^x})^{-2} = (3^{-x})^{-2} = 3^{(-x) \cdot (-2)} = 3^{2x}$.

Упростим третий член: $2 \cdot (-\frac{1}{9}) \cdot (\frac{1}{3})^{-3}$.

$-\frac{1}{9} = -3^{-2}$.

$(\frac{1}{3})^{-3} = (3^{-1})^{-3} = 3^3 = 27$.

Тогда третий член равен: $2 \cdot (-3^{-2}) \cdot 3^3 = -2 \cdot 3^{-2+3} = -2 \cdot 3^1 = -6$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в уравнение:

$3^{4x} + 3^{2x} - 6 = 0$

Заметим, что $3^{4x} = (3^{2x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{2x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к замене. Проверим корни на соответствие условию $y > 0$.

1. $y_1 = 2$. Этот корень удовлетворяет условию $y > 0$.

$3^{2x} = 2$

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

$\log_3(3^{2x}) = \log_3(2)$

$2x = \log_3(2)$

$x = \frac{1}{2}\log_3(2)$

Этот корень можно также записать как $x = \log_3(2^{1/2}) = \log_3(\sqrt{2})$.

2. $y_2 = -3$. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$, так как $3^{2x}$ не может быть отрицательным числом. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\log_3(2)$.